1.Постановка задачи

Для нахождения аналитических зависимостей между измеряемыми величинами на основе корреляции между ними, часто используют способ наименьших квадратов. Сущность его заключается в нахождении параметров эмпирических формул, если известен ряд измерений величины y (функция), соответствующих различным значениям величины x (аргумент).

Данные эксперимента целесообразно представить графически, особенно в тех случаях, когда вид функциональной зависимости заранее неизвестен. Исходя из вида графика или каких-либо теоретических соображений, выбирают эмпирическую зависимость, например , и т. д. Тогда задача сводится к определению параметров a, b, c выбранной формулы так, чтобы они наилучшим образом описывали имеющиеся экспериментальные данные. При этом предполагается, что измерения значений функции y₁, y₂, _{… ,} y_n произведены независимо друг от друга и ошибки измерения подчиняются нормальному закону Гаусса.

2. Отыскание параметров эмпирических формул

Пусть выбрана функциональная зависимость y= f (x, a₀,, . . . , a_n ) . Если все измерения произведены с одинаковой точностью, то параметры a₀, . . . ,a_n определяются из условия, что сумма квадратов отклонений измеренных значений y_i от вычисленных f_i(x_i, a₀, . . . _,a_n ) принимает наименьшее значение, т. е.

(6)

В основе принципа наименьших квадратов лежит вытекающее из распределения ошибок по закону Гаусса утверждение, согласно которому наивероятнейшим значением, полученным из ряда измерений одинаковой точности, является такое, для которого сумма квадратов разностей этого значения и результатов измерений является наименьшей. Следовательно, отыскание параметров на основе метода наименьших квадратов сводится к системе решений уравнений, полученной из выражения (6) при исследовании величины S на экстремум:

; ...; . (7)

3. Отыскание параметров многочлена

Пусть искомая формула имеет вид многочлена

. (8)

Подставив формулу (8) в (6),получим

. (9)

Тогда в соответствии с принципом наименьших квадратов система уравнений (9) будет иметь вид:

(10)

Из полученной системы n+1 уравнений однозначно находятся параметры a₀, a₁, . . . ,a_n.

Если зависимость выбрана так, что искомые значения входят в формулу нелинейно, то ее преобразуют к линейному виду. Так, показательная функция логарифмированием сводится к виду или , где , , . Степенная функция логарифмированием также сводится к линейной зависимости или , где , , . Чтобы убедиться в правильности выбора показательной или степенной зависимости, для описания экспериментальных данных строят графики, используя соответственно полулогарифмическую и логарифмическую шкалы. Точки на графике должны лежать в близи прямой линии.

Содержание работы

Известно, что ослабление излучения происходит по экспоненциальному закону. Следовательно, логарифм числа зарегистрированных частиц после прохождения через вещество поглотителя линейно зависит от толщины:

(11)

где: t  толщина поглотителя, г/см²;

N(t)  число отсчетов, имп.;

N₀  число отсчетов без поглотителя, имп.;

 - числовой коэффициент.

Однако, экспериментально измеренные точки: не лежат на прямой вследствие статистического разброса. Следует подобрать эмпирические коэффициенты таким образом, чтобы полученная теоретическая кривая была бы возможно ближе к истинной зависимости . Как было сказано выше, наилучшим приближением будет такая прямая линия, для которой сумма квадратов уклонений по вертикали от точек до прямой будет минимальной. В этом заключается сущность метода наименьших квадратов.

Обозначим для краткости в формуле (11):

(12)

Тогда сумма квадратов уклонений запишется в виде:

(13)

где: t_i  толщина поглотителя в i-ом измерении;

y_i  соответствующее значение логарифма числа отсчетов;

_i  вес iго измерения;

n  общее число измерений.

Поскольку от точки к точке число сосчитанных импульсов N_i меняется, разным будет и статистический разброс. Чем больше импульсов набрано в i–ом измерении, тем меньше статистическая погрешность значения y_i и тем больший вес следует приписать i–ому измерению. Значения весов будут равными:

(14)

где: D(y_i)  дисперсия значения y_i.

Рассчитать дисперсию можно, основываясь на том факте, что число отсчетов распределено по закону Пуассона. В этом случае получается:

(15)

Можно упростить выражение (14), положив: . Получаем:

(16)

Для удобства вычислений уравнение прямой запишем в виде:

(17)

где:

(18)

Уравнения, определяющие оценки параметров и :

и (19)

решаются независимо друг от друга и искомые оценки параметров равны:

(20)

(21)

При необходимости можно вычислить и коэффициент :

(22)

Оценка дисперсии коэффициента равна:

(23)

где S_min  минимальная сумма квадратов уклонений, которая получается из (13) при подстановке туда найденных из (20) и (21) коэффициентов.

Построение кривой ослабления излучения средой состоит в регистрации числа пройденных через поглотитель частиц ионизирующего излучения. В логарифмических координатах данная кривая будет иметь вид прямой, плавно спадающей от максимального значения в начале координат (точка, соответствующая числу частиц без поглотителя). Причем, начиная с определенной толщины поглотителя, число частиц, пройденных через него уже не меняется и приближается к некоему фоновому значению. Т.е. наблюдается ситуация, когда все частицы, попавшие в поглотитель в нем и остаются, так называемый "режим насыщения". Все экспериментальные точки "режима насыщения" отбрасываются , не заносятся в таблицу и не принимаются во внимание в дальнейших расчетах.

Все данные измерений и расчетов свести в таблицу 2.

Таблица 2.

ti	Ni(t)	yi=lnNi(t)	tii	titcp	(titcp)2	(titcp)yi	i(titcp)yi	i (titcp)2	yi-y(ti)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
t1	N1
.
tn	Nn
ti	Ni

Все формулы справедливы, если и , так как в этом случае можно пренебречь погрешностью усреднения скорости счета по временному интервалу iго измерения.

Окончательный результат  коэффициент ослабления  должен быть записан в виде:

(1/c)

При вычислении используются числа отсчетов Ni за вычетом фона. Если фон велик, то дисперсия, сосчитанная по (23), будет занижена и следует воспользоваться более точными формулами.

Порядок работы

1. Подготовить установку к работе: включить и прогреть установку в течение 10 мин.

2. Произвести серию измерений по 300 сек:

первое измерение проводится без радиоактивного источника (измерение фона N₀), затем установить радиоактивный источник и произвести измерения в следующем порядке: первое - без поглотителя, затем между источником и детектором помещаются поглотители из меди или свинца (по заданию преподавателя), в каждом последующем измерении толщина поглотителя увеличивается.

2. Построить экспериментальную зависимость ln(N-N_Ф) = f(t). Исключить точки, соответствующие фоновым значениям и заполнить таблицу 2.

3. Рассчитать , , , используя формулы (20), (21) и (23). Записать уравнение теоретической кривой ослабления в виде:

2. Для двух значений толщины поглотителя построить теоретическую кривую в тех же координатах, что и зависимость lnN = f(t).

3. Записать результат измерения коэффициента ослабления в виде:

7. Сделать выводы.

Контрольные вопросы:

1. Посредством каких процессов происходит поглощение энергии ионизирующего излучения при его прохождении через вещество?

2. Как связаны степень поглощения и атомный номер материала поглотителя?

3. Для чего используется метод наименьших квадратов в данной работе?

4. Поясните физический смысл коэффициента .

Список литературы

1. Обработка результатов измерений. Е.Ф. Долинский. М., Издательство стандартов, 1973.

2. Математическая обработка результатов эксперимента /В.К. Калоша, С.И. Лобко, Т.С. Чикова. -М.: Выш. школа, 1982.

3. Математическая обработка результатов эксперимента. Л.З. Румшинский. М., 1971.

7