27. Теорема Нетер. Законы сохранения

В 1918 г. Э. Нетер была доказана теорема, из которой сле­дует, что если некоторая система инвариантна относительно некоторого глобального преобразования, то для нее существует определенная сохраняющаяся величина. Теорема Нетер, до­казанная ею во время участия в работе целой группы по про­блемам общей теории относительности как бы побочно, ста­ла важнейшим инструментом теоретической физики, утвер­дившей особую трансдисциплинарную роль принципов симметрии при построении физической теории. Можно сказать, что те­оретико-инвариантный подход, развитый в математике, суть которого состоит в систематическом применении групп сим­метрии к изучению конкретных геометрических объектов, так называемый «эрлангенский принцип», проник в физику и определил целесообразность формулирования физических тео­рий на языке лагранжианов. То есть в основу построения те­ории должен быть положен «лагранжев подход», или «лагранжев формализм». Функция Лагранжа является основным математическим инструментом при построении базисной тео­рии механистической исследовательской программы — ана­литической механики. Формы лагранжианов при описании различных явлений природы, в том числе и таких, которые не объясняются законами классической механики, разумеет­ся, разные. Однако единым является сам подход к решению проблем.

Дело в том, что наряду с ньютоновской механикой в фи­зике были сформулированы законы сохранения для некоторых физических величин: закон сохранения энергии, закон со­хранения импульса, закон сохранения момента импульса, закон сохранения электрического заряда. Число законов со­хранения в связи с развитием квантовой физики и физики элементарных частиц в XX столетии стало еще больше. Возникает вопрос, как найти общую основу для записи как уравнений движения (скажем, законов Ньютона или уравнений Максвелла), так и сохраняющихся во времени величин. Ока­залось, что такой основой является использование лагранжиана формализма. С одной стороны, использование лагранжиа­на и принципа наименьшего действия в классической меха­нике позволяет получить уравнения Эйлера — Лагранжа, связь которых с законами Ньютона хорошо известна. Уравнения Эйлера — Лагранжа для лагранжиана классического электро­магнитного поля оказываются уравнениями Максвелла. То есть использование лагранжиана в теории позволяет задавать и описывать динамику рассматриваемых систем. Однако лаг­ранжиан обладает еще одной важной особенностью: он стро­ится таким образом, что для данной конкретной теории ока­зывается инвариантным (неизменным) относительно преоб­разований, соответствующих конкретному рассматриваемому в данной теории абстрактному пространству, следствием чего и являются законы сохранения.

Законы сохранения являются следствиями симметрии, су­ществующих в реальном пространстве-времени.

Закон сохранения энергии является следствием временной трансляционной симметрии — однородности времени. В силу однородности времени функция Лагранжа замкнутой систе­мы явно от времени не зависит, а зависит от координат и импульсов всех элементов, составляющих эту систему (кото­рые зависят от времени). Несложными математическими пре­образованиями можно показать, что это приводит к тому, что полная энергия системы в процессе движения остается неизменной.

Закон сохранения импульса является следствием транс­ляционной инвариантности пространства (однородности про­странства). Если потребовать, чтобы функция Лагранжа ос­тавалась неизменной (инвариантной) при любом бесконечно малом переносе замкнутой системы в пространстве, те полу­чим закон сохранения импульса. Закон сохранения момента импульса является следствием симметрии относительно по­воротов в пространстве, свидетельствует об изотропности пространства. Если потребовать, чтобы функция Лагранжа оставалась неизменной при любом бесконечно малом повороте зам­кнутой системы в пространстве, то получим закон сохране­ния момента импульса. Эти законы сохранения характерны для всех частиц, являются общими, выполняющимися во всех взаимодействиях.

До недавнего времени в физике проводилось четкое раз­деление на внешние и внутренние симметрии. Внешние сим­метрии — это симметрии физических объектов в реальном пространстве-времени, называемые также пространственно-временными, или геометрическими. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются следствиями внешних симметрии. К классу внутренних симметрии относят симметрии относительно непрерывных преобразований во внут­ренних пространствах, не имеющих, как считалось до недав­него времени, под собой физической основы, связывающих их со структурой пространства-времени. Такой, к примеру, является глобальная калибровочная симметрия для электромаг­нитного поля, следствием которой является закон сохранения электрического заряда, и многие другие. Современный этап развития физики раскрывает возможность сведения всех внутренних симметрии к геометрическим, пространственно-временным симметриям, что само по себе свидетельствует об очень сложной структуре самого пространства-времени нашей Вселенной. Основанием для этого является тот факт, что все внутренние симметрии имеют одну калибровочную природу. Современная теоретическая физика дает еще один чрезвычай­но важный результат, свидетельствующий о том, что все многообразие физического мира проявлено вследствие нарушений определенных видов симметрии. Таким образом, благодаря импульсу, заданному открытием Э. Нетер, в естествознании в качестве трансдисциплинарной концепции формируется кон­цепция описания явлении через призму диалектики симмет­рии и асимметрии.