Р ис.5. Видозміни функції щільності нормального розподілу у залежності від значення σ

На рис.5 зображені нормальні криві при різних значеннях σ і а = 0. Наведені графіки наочно ілюструють характер зміни форми кривої нормального розподілу у залежності від зміни значення параметра σ.

Стандартний нормальний розподіл

Нормальний розподіл при а = 0 і σ = 1 називається стандартним нормальним розподілом. Множина можливих значень випадкової величини Х, яка має область зміни [0;1], позначається як . Щільність стандартного нормального розподілу має вид

для будь-якого x  , а функція розподілу, яка позначається Ф_0,1(Х) і називається функцією Лапласа, подається наступним чином:

Функція Лапласа є табульованою, тобто її значення обчислені для багатьох значень х, і наведена майже у всіх математичних довідниках. Зв'язок між та функцією , яка взята для довільних значень а та має вид

=

для будь-якого x  R. Таким чином можна обчислити значення функції Лапласа для нормального розподілення з параметрами а та за значенням табульованої функції . Вказаним взаємозв’язком зручно користуватися у випадках, коли необхідно визначати імовірність влучання значень випадкової величини Х у деяку ділянку [х₁; х₂], (х₂ х₁) діапазону D_x:

Як бачимо, обчислення будь-яких імовірностей для нормально розподіленої випадкової величини зводиться до обчислення функції розподілу Ф_0,1. Її властивості:

1. Ф_0,1(0) = 0,5.

2. Ф_0,1(-х) = 1 - Ф_0,1(х).

3. Якщо х  N_0,1, то

Якщо випадкова величина розподілена нормально, то вона підпорядкована так званому “правилу трьох сигм”. Це правило встановлює наступне:

для нормально розподіленої випадкової величини Х абсолютна величина її відхилення від математичного чекання не перевершує потроєного середнього квадратичного відхилення, тобто якщо , то . Іншими словами, за цим правилом можна стверджувати, що імовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х від свого математичного очікування а на величину більшу, ніж складає менше 0,003 або 0,3%. Тим самим практично всі значення Х при її нормальному розподілі зосереджені в границях [a - 3σ; a + 3σ].

Завдання на виконання роботи

При виконанні роботи необхідно згідно з отриманим індивідуальним завданням:

1. Провести обчислення значень статистичних оцінок (середнє, математичне чекання, дисперсія, , коваріація, мода та її амплітуда, медіана) випадкової величини, яка досліджується.

2. За розрахованими даними математичного чекання та середнього квадратичного відхилення провести побудову графіка функції щільності розподілу величини часу напрацювання технічного пристрою до відмови, вважаючи, що дана випадкова величина підпорядкована нормальному закону розподілу.

3. Порівняти отриману форму функції щільності розподілу з формою частотної гістограми, отриманої у першій лабораторній роботі.

4. Сформувати висновки за проведеними дослідженнями.