Лабораторна робота 2.

ВИЗНАЧЕННЯ СТАТИСТИЧНИХ ОЦІНОК

ТА ЗАКОНІВ РОЗПОДІЛУ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ

МЕТА РОБОТИ

Набуття практичних навичок в області обчислення статистичних оцінок параметрів випадкових процесів та побудови графіків функцій щільності розподілу випадкових величин

ЗМІСТ РОБОТИ

1. Розрахунок та аналіз статистичних оцінок параметрів випадкових процесів.

2. Побудова графіків функцій щільності розподілу випадкових величин.

3. Оформлення та аналіз отриманих результатів.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Статистичні оцінки випадкових величин

Кількісними характеристиками випадкової величини є її статистичні оцінки. До використання статистичних оцінок для опису характеру випадкової величини користуються за умови наявності недостатнього обсягу експериментального статистичного матеріалу. У цьому випадку використання таких хаpактеpистик випадкової величини як функція і щільність розподілу можуть бути перекручені випадковими викидами і не відображати повною мірою хаpактеp випадкової величини. Розглянемо деякі статистичні оцінки випадкових величин. Для цього скористаємося введеним у лабораторній роботі №1 поняттям імовірності Р_j появи у ході експерименту значення x_j для випадкової величини Х.

Нагадаємо, що було розглянуто результати деякого експерименту з дослідження неперервної випадкової величини Х, який складався з n дослідів. Припустимо, що у кожному і-му досліді було для Х було отримано значення x_і. Таким чином, після закінчення експерименту було отримано множину значень величини X з m елементів. У загальному випадку m = n (якщо значення х_і не мали повторень). Однак, якщо в декількох дослідах були отримані однакові результати x_j, то тоді m < n.

За отриманими даними експерименту можна визначити наступні статистичні характеристики випадкових величин X.

1. Середнє значення випадкової величини Х:

2. Математичне чекання M[X] випадкової величини Х:

,

де k_j – кількість дослідів, у яких величина Х приймала значення х_j.

3. Дисперсія D[X] випадкової величини Х:

4. Середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х:

5. Коефіцієнт варіації (коваріація) випадкової величини Х:

.

Вибірка даних, отримана в результаті проведення експерименту, вважається однорідною, якщо

6. Мода Мо[X] випадкової величини X:

Модою Мо[X] називається найбільш імовірне значення х_j випадкової величини Х, яке зафіксоване у наявній вибірці даних. Тобто Мо[X] = х_j, якщо для цього значення Р_j = = max Р. Значення Р_j = max Р називається амплітудою моди АМо[X].

Визначення моди та її амплітуди за наведеним вище принципом більш характерне для дискретних випадкових величин. Для безперервної величини визначення моди ведеться не для якогось конкретного її значення, а для певного інтервалу її значень, у якому імовірність її появи найбільша. Для цього використовують наведений у лабораторній роботі №1 принцип поділу діапазону зміни значень величини Х на ділянки та побудови для цих ділянок частотної гістограми. Якщо таку побудову виконано, то за найбільшою зафіксованою висотою певного h-го стовпця гістограми визначають амплітуду моди АМо[X] та так званий модальний інтервал. Таким інтервалом є ділянка [x_Mo,min; x_Mo,max], де x_Mo,min та x_Mo,max – відповідно значення нижньої та верхньої границь цієї ділянки. Для того, щоб визначити безпосередньо моду Мо[X] можна скористатися такою формулою:

,

де - обраний інтервал поділу діапазону зміни значень величини Х на ділянки; - кількість елементів вибірки, які потрапили до модального інтервалу; - кількість елементів вибірки, які потрапили до інтервалу, який передує модальному; - кількість елементів вибірки, які потрапили до інтервалу, який слідує за модальним.

Можлива ситуація, коли вибірки Х можуть мати декілька мод. Тоді такі вибірки називають полімодальними.