7. Медіана Ме[х] випадкової величини х.

Медіаною Ме[Х] називається таке значення х_і, яке ділить отриману ранжовану за зростанням або убуванням вибірку значень Х на дві рівні за кількістю елементів частини.

Для визначення медіани Ме[Х] елементи вибірки ранжуются за зростанням або убуванням своїх значень. Після цього медіана визначається за наступними правилами:

а) якщо в експерименті отримано непарна кількість значень випадкової величини Х (тобто n – непарне число), то медіаною є значення -го елементу вибірки, тобто

;

б) якщо кількість елементів вибірки є парним (n – парне число), то значення медіани визначається таким чином. У вибірці відшукуються значення її -го та -го елементів. Після цього визначається їх середнє значення, тобто

.

Функції щільності розподілу випадкових величин.

При вивченні властивостей випадкової величини Х важливою прикладною задачею є визначення імовірності P(x_k x  x_r) того, що деяке її довільне значення х потрапить у певний інтервал х = [x_k; x_r], (x_k x_r), з діапазону D_x зміни її значень. Використовуючи для розв’язку цієї задачі визначену зарані функцію розподілу F(X), можна записати:

.

Середня величина імовірності влучання значення х в інтервал х = [x_k; x_r] складає:

За умови зменшення значення х границею вказаного вище виразу є похідна від функції розподілу F(Х) і називається щільністю розподілу f(X) випадкової величини Х. Графік функції (Х) = f(Х) називається графіком функції щільності розподілу. Якщо вид функції f(Х) відомий, то можна визначити імовірність того, що деяке значення х випадкової величини Х буде знаходитися в певному інтервалі [а;b] зміни цієї величини з діапазону D_x зміни її значень з імовірністю

P(a < x < b) = .

Геометрично дану імовірність можна подати як площу фігури, яка утворюється кривою f(Х), ординатами, проведеними з точок а і b і віссю Х. Площа, що знаходиться під усією кривою функції f(Х) щільності розподілу в рамках визначеного діапазону D_х зміни випадкової величини Х, дорівнює одиниці.

Окрім вказаних вище властивостей функцій щільності розподілу додамо ще деякі її властивості.

1. Функція щільності розподілу є ненегативною функцією, тобто для будь-якого значення х, яке входить до D_х справедливим є f(х) 0.

2. Невласний інтеграл від функції щільності розподілу в межах від - ∞ до + ∞ дорівнює одиниці:

Типові законами розподілу безперервних випадкових величин.

Деякі типові за своїм характером функції щільності розподілу випадкових величин називають законами розподілу. Стандартні закони розподілу випадкових величин широко застосовуються в різних галузях природознавства і техніки: у теорії надійності, теорії масового обслуговування, у теоретичній фізиці, теорії похибок спостереження, теорії автоматичного керування, загальній теорії зв'язку, інших теоретичних і прикладних науках. Також закони розподілу випадкових величин використовуються при плануванні й організації виробництва, при аналізі технологічних процесів, попереджувальному і приймальному контролі якості продукції.

Для безперервних випадкових величин розглянемо найбільш важливі та розповсюджені у практиці технічних досліджень закони розподілу, а саме:

- рівномірний розподіл;

- показовий розподіл;

- нормальний розподіл.

Рівномірний закон розподілу.

Розподіл імовірностей називають рівномірним, якщо на інтервалі, якому належать усі можливі значення випадкової величини, щільність розподілу зберігає постійне значення.

Вважають, що випадкова безперервна величина Х має рівномірно розподілена на деякому відрізку [a, b] області свого існування, якщо

У точках a і b функція розподілу є недиференційованою, і щільність можна задати як завгодно.

Рис.1. Вид функції щільності розподілу для рівномірного закону

Показовий закон розподілу.

Вважають, що Х має показовий розподіл з параметром α, α > 0, якщо

Як бачимо, що показовий розподіл визначається одним параметром α. Ця особливість показового розподілу вказує на його перевагу в порівнянні з розподілами, що залежать від більшого числа параметрів.

Рис.2. Вид функції розподілу для показового закону

0

Рис.3. Вид функції щільності розподілу для показового закону

Показовий розподіл є єдиним абсолютно безперервним розподілом, який, як правило, характеризує деградаційні процеси у технічних пристроях.

Нормальний закон розподілу.

Вважають, що безперервна випадкова величина Х має нормальний розподіл з параметрами а і σ² , де а  R (область раціональних чисел), σ > 0, якщо її функція щільності розподілу f(Х) має такий вид:

- для будь-якого x  R

Рис.4. Вид функції щільності розподілу для нормального закону

Видно, що нормальний розподіл визначається двома параметрами: α і σ. Цими параметрами є: а = М[X] – математичне чекання випадкової величини Х; σ = σ[X] - середнє квадратичне відхилення цієї величини. Досить знати ці параметри, щоб задати нормальний розподіл. З'ясуємо, як впливають на форму і розташування нормальної кривої f (X) значення а і σ.

Зсунувши графік f(Х) у позитивному напрямку осі Х на а одиниць масштабу при а > 0, одержимо графік f(Х - а). При зсуві в негативному напрямку при α < 0, одержимо графік f (Х + а). Очевидним є те, що графіки функцій f(Х), f(Х - а) та f(Х + а) мають однакову форму. Звідси випливає, що зміна величини параметра а (математичного чекання) не змінює форми нормальної кривої, а призводить лише до її зрушення уздовж осі Х: вправо, якщо а додатне, і вліво, якщо а від’ємне.

По-іншому обстоїть справа, якщо змінюється параметр σ (середнє квадратичне відхилення). Максимум функції щільності розподілу для нормального розподілу досягається при х = а і становить f(X) = max f(X) = . Звідси випливає, що зі зростанням σ максимальна ордината нормальної кривої убуває, а сама крива стає більш положистою, тобто “притискується” до осі X (рис.5). При убуванні σ графік стає більш “гостроверхим” і розтягується в позитивному напрямку по осі f.

Підкреслимо, що при будь-яких значеннях параметрів а і σ площа, обмежена нормальною кривою і віссю х, залишається рівній одиниці

f(x)

σ=1

σ=3

σ=7,5

Х

0