20.
Пусть
z=z(x,y)-функц.от(x,y).Пусть h-приращение для
x,а l-для y.
Z’(x)=(z(x+h,y)-z(x,y))/h+o(h);=(z((x,y)-z(x-h,y)))/h+o(h);=(z(x+h,y)-z(x-h,y))/2h+o(h^2).
Z’(y)=(z(x,y+l)-z(x,y))/l+o(l);=(z(x,y)-z(x,y-l))/l+o(l);=(z(x,y+l)-z(x,y-l))/2l+o(l^2).
(Z’x)’x
Z”xx=(z(x+h,y)-2z(x,y)+z(x-h,y))/h^2+o(h^2).
(Z’y)’y
Z”yy=… .(Z’x)’y Z”xy=….
19
у ' = lim
Δу/ Δх (1)
Δх→0
если
нельзя точно найти или у' имеет сложный
вид используют числен.приближенное
дифференцирование.
Если Δх→фиксиров.и
малая, то у ' ≈ Δу/ Δх (2)
Получим
конечно-разностную
аппроксимацию ,
замену для производн. у ', рассмотрим
таблицу :
Х х1 х2
… хn
У у1 у2
… уn
Δх = h
С равноотстоящ.узлами
h=x1-x0=x2-x1=..=xn-x
n-1
«шагать»можно влево,вправо или
сразу по шагам и влево и вправо. Тогда
получим конечно-разност. Аппроксим.
Разных видов для у к ' :
у к ' ≈ у к+1 – ук
/h
– правая конеч-разность (3)
2) при шаге влево
у
к ' ≈ ук - у к-1 /h
– левая конеч.-разность (4)
3) при
шаге и влево и вправо
у к ' ≈ у к+1 –
у к-1 / 2h
(5)
Дифференц.их можно получить
разные формулы для у к '' :
у ''к= (у к
')'≈ у к+1 – ук /h
≈ (у к-1 - ук/h
- ук - у к-1 /h)
/ h
= у к+1 – 2ук + у к-1 / h²
(6)
продолж.можно получить формулы
разностей высших порядков. Все эти
формулы дают приближ.значение
производных,т.е. при замене (1) на(3,4,5) ,
а у ''к на (6) .
22.
задача Коши для
ДУ-отыскание частного решения ДУ
y'=f(x,y)
при условии y(x0)=y0.
[a;b]
делят на n-частей
с шагом h=(b-a)/n.
X0=a,x1=x0+h,x2=x1+h,…xn=b.
Y0=y(x0),y1,y2…yn=?
Ответ-табл. X(x0,x1…xn).y(y0,y1…yn).
Разложим в ряд
Тейлора:y(x+h)=y(x)+y’(x)h+(y’(x)h^2)/2!+(y”’(x)h^3)/3!+…
. Пусть x-xk;x+h-x(k+1);y(x)-yk;y(x+h)-y(k+1).
1) При шаге вправо
21.
табл.из x(x1,x2,x3),
y(y1,y2,y3).
H=x2-x1=x3-x2.
L(x)=? L(x)=y1l1(x)+y2l2(x)+y3l3(x)
l1(x)=((x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3))=(x^2-xx2-xx3+x2x3)/2h^2.
l2(x)=((x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3))=(-x^2-xx1-xx3+x1x3)/h^2.
l3(x)=((x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2))=(x^2-xx2-x1x+x1x2)/2h^2.
L(x)=y1*(x^2-xx2-xx3+x2x3)/2h^2-y2*(x^2-xx1-xx3+x1x3)/h^2+y3*(x^2-xx1-xx2+x1x2)/2h^2=1/2h^2{y1(x^2-xx2-xx3+x2x3)-2y2(x^2-xx1-xx3+x1x3)+y3(x^2-xx1-xx2+x1x2)}
R(x)=y(x)-L(x)=(y”’(c)/3!)*(x-x1)(x-x2)(x-x3)
R’(x)=(y””(c)/3!)*c’(x)(x-x1)(x-x2)(x-x3)+(y”’(c)/3!){(x-x2)(x-x3)+(x-x1)(x-x3)+(x-x1)(x-x2)}
L’(x)=1/2h^2{y1(2x-x2-x3)-2y2(2x-x1-x3)+y3(2x-x1-x2)}
8.
Итерационные методы решения- численные или
приближенные методы решения, например, метод
Якоби (МПИ – метод простых итераций), метод зейделя
и другие. Во всех таких методах начальную СЛАУ
a11x1+a12x2+…+a1nxn =b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn =b2 (1)
………………………………..
аn1х1+аn2х2+…+аnnxn =bn
н ачальн.СЛАУ (1) преобразуют так, чтобы
слева были х1= х2=
…
хn=
преобразовать можно по-разному, например, по формулам
х
1=с11х1+с12х2+..+с1nхn+d1
х2=с21х1+с22х2+..+с2nхn+
d2
… или
хn=сn1х1+сn2х2+..+сnnхn+ dn
х1=р12х2+р13х3+..+р1nхn+q1
х2=р21х1+р32х3+..+р2nхn+q2
….
хn=рn1х2+pn2х2+..+рn3 n-1 х n-1+qn
Затем выбирают начальное приближение х۫˚=(х1˚,х2˚,…,хn˚)=(0,0,..,0) Часто для удобства берут все нули