2

31. Симплекс-метод – способ рацион.перебора вершин при точке min.Перебир.вершины и сравнив.их знач f можно найти min(max)Сначала выбир.произв.вершину Д, перебир.все ребра выходящие из вершины Д,выбир.ребро ,при перемещении по котор.функция f убыв. Если такого ребра нет, то 1-ая вершина и есть mi;если есть-переход по нему в соседн.вершину и повторяют процесс Любое неотрицательное решение ЗЛП удовлет.условие р1(х1,…,хn,х1')=0 р2(х1,…,хn,х2')=0 …

рl(х1,…,хn,хl')=0 - называется допустимое решение . Допустимое решение не целиком состоящее из нулей называется базисным или опорным решением или просто базис. Базисное решение , дающее min целевой функции, называется оптимальным решением , при этом в окончательном виде целевой функции все коэффициенты при неизвестных положительные. Алгоритм симплекс-метода: 1)приведем к конон.виду

2)Выразим новые переменные через х,у

Переменные справа называются свободными, они равны 0,переменные слева –называются .базисными, их надо вычислять 3)найдем f1-значение из цел.функции Если коэффициент отрицат., то ответ не окончательный

4)увелич. Х или У (лучше увелич.Х) рассматр.только уравнения где есть Х, причем с отриц.коэфиц. Из получ.значений выбираем минимальное. 5)находим 2 базис и т.д.пока коэф.-полож.,ответ окончательный

8.

Задача нахождения частн.решений

ДУ у''+р(х)у'+q(x)y=f(x) , где р(х), q(x),

f(x)-неизвестн.лин.функ., при условии

α1y(a)+β1y'(a)=γ1 α2y(в)+β2y'(в)=γ2 - краев.условие называется краев.задачей для ДУ 2-го

порядка , αк, βк, γк – заданны Задачу решают методом конечных

разностей, отрезок АВ, где ищут

р ешения делят на n-частей с шагом h h=в-а/n , получ. точки х0=а для них надо найти у0,у1 х1=х0+h x2=x1+h n+1 ,..,уn-? … xn=b

y 0= всегда 2 условие получит.

из крав.после замены у'(а)

правой конечной разност., y1= а у'(в) лев.конечн.разности Iого

порядка .. ? yn= у'(а)= у'(х0)= у0'=у1-у0/h у'(в)= у'(хn)= уn'=уn-уn-1/h из условия следует α1y0+β1y1-у0/h=γ1

α2+уn+β2y'n- уn-1/h=γ2

(α1+h- β1)y0+β1+y1=h γ1 -β2 уn-1+( α2h+ β2)yn= hγ2

О

30.

ЗЛП-это задача нахождения max,min линейной целевой функции f(х1,х2,..,хn) при задан.линейных ограничений вида g1(х1,х2,..,хn)=0 h1(х1,х2,..,хn)<=0 g2(х1,х2,..,хn)=0 h2(х1,х2,..,хn)<=0 … …. gm(х1,х2,..,хn)=0 hl (х1,х2,..,хn)<=0

Графический метод решения ЗЛП Данный метод примен.при решении задач оптимизации с условиями при небольшой колич. ограничений и малом числе параметров . Если целев.функц-линейная,т.е f(x1,x2)=ax1+bx2

Градиентом целевой функции f (grad f) называется вектор , зависиющ.от х1,х2,..,хn и меняющий. При переходе от одной точки к другой и направление. Он направлен из точки (0;…;0) в точку( f 'x1; f 'x2;..; f 'xn)

при n = 2 , тогда grad f=(f 'x1; f 'x2)=a,b (0;0)→(a;b)

при n=3 , f(x1,x2,x3)=ax1+bx2+cx3 grad f=(a;b;c) (0;0;0)→(a,b,c) В 1-ом случае-линия f(x1,x2)=c (n=2)

во 2-ом случае- плоскость f(x1,x2,x3)=c (n=3)перпен.градиенту f известно,что 2,3 зад.ОДЗ-Д, а max и min функции наход.либо на гр.Д, либо в ее вершинах Алгоритм графического метода: 1)строим Д (ОДЗ) 2)строим градиент f 3)найдем точки max b min точки max→в напр.grad f точки min→1 направ.→ grad f 4)найдем fmax,fmin

ст.n-1 уравн.получ.из ДУ

у''+р(х)у'+q(x)y=f(x)для внут.точек о

трезка АВ у''к+рку'к+qкyк=fк к=1,2,3,..,n-1 Заменим производные у''к=у к+1-2ук+н к-1/h² у'к=у к+1-у к-1/2h - центр у к+1-2ук+н к-1/ h²+рк у к+1-у к-1/2 h+

qкyк= fк 2у к+1-4ук+2ук-1+ркhу к+1-ркhу к-1+

2 h²qкqк=2 h² fк (2-ркh)у к-1+(2 h²qк-4)ук+(2+ркh) у к+

1=2 h² fк к=1,2,3,..,n-1

Запишем СЛАУ из n+1урав.для

нахожд.у0,у1,..,уn

(α1+h- β1)y0+β1+y1 =h γ1 (2-ркh)у к-1+(2 h²qк-4)ук+(2+ркh) у к+1=2 h² fк (*) -β2 уn-1+( α2h+ β2)yn = hγ2

Решают методом прогонки если для (*) выполн.условия: а) q(х)<0 для всех внутр.точек[а,в],т.е.

при а<х<в б) β1= β2=0 ; α1, α2 не равно 0 или β1,

β2>0, α1 >0 Тогда СЛАУ (*) решит.методом

прогонки,ее решение единствен.и

устойчиво,если при этом β1= β2=0,

то погрешность О(h²), в ост.случ. (О(h)).

27.

Система ДУ люб.порядка можно свести к системе ДУ 1

-ого порядка,если ввести новые переменные и понизить

порядок,

поэтому рассмотрим простейшую систему ДУ 1-ого

порядка у'=f(x,y,z) z'=g(x,y,z) (1) у(х),z(x)-неизвестные функции. Для част.решения системы (1) нужны 2 дополнит.условия: у(х0)=у0

Z(х0)=z0 , где у0,z0-заданные числа (2) х0=а(начало отрезка) Задачу отыскания частных решений системы (1) при

начально

м условии (2) называют задачей Коши дл системы ДУ

1-ого порядка.

Ее можно решить известными методами :

М етод Эйлера у к+1=ук+hf(xk,yk,zk) z к+1=zk+hg(xk,yk,zk) Модифицир.метод

у  к+1=ук+hf(xk,yk,zk) у к+1=ук+h/2{f(xk,yk,zk)+f(x к+1, у к+1 , z к+1)} z к+1=zk+hg(xk,yk,zk)

z к+1= zk+h/2{g(xk,yk,zk)+g(y к+1, у к+1 , z к+1)} Метод Рунге-Кутта аналогичен

9. приведем итерационные формулы метода для СНУ х=f1(x,y,z) x=f2(y,z) y=g1(x,y,z) или y=g2(x,z) z=h1(x,y,z) z=h2(x,y) (к+1) (к) (к) (к) (к+1) (к) (к)

х =f1(x ,y ,z ) x =f2(y ,z ) (к+1) (к) (к) (к) (к+1) (к) (к)

y =g1(x ,y ,z ) или y =g2(x ,z ) (к+1) (к) (к) (к) (к+1) (к) (к)

z =h1(x, y ,z) (*) z =h2(x ,y )(**)

Зная начальное приближение (х˚,y˚,z˚), выполн. 1 шаг по

ф ормулам (*),(**)

х¹=f1(х˚,y˚,z˚) y¹=g1(х˚,y˚,z˚)

z¹=h1(х˚,y˚,z˚) Решение прекращается, если на очередном шаге

выполн. оконч.итерац. процесса (к+1) (к) (к+1) (к) (к+1) (к) max { | х -х | ;| у -у |;…;|z -z | } <= ε

Если выполняется условие , то говорят , что на данном

шаге получено решение СНУ с точностью ε.

29. Задачей оптимизации называется задача отыскания max

или min целевой функции f(x1,x2,..,xn) →max(min) на

множестве Д, заданных условий

g 1(х1,х2,..,хn)=0 h1(х1,х2,..,хn)<=0 g2(х1,х2,..,хn)=0 h2(х1,х2,..,хn)<=0 … …. gm(х1,х2,..,хn)=0 (2) hl (х1,х2,..,хn)<=0 (3)