16)Найдем уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Начало полярной системы координат поместим в фокус (левый в случае эллипса, правый в случае гиперболы). Полярная ось направлена по фокальной оси в сторону, противоположную от соответствующей директрисы. Для произвольной точки кривой обозначим через расстояние от точки до фокуса , а через - расстояние от до директрисы. Наша кривая есть геометрическое место точек, для которых где - эксцентриситет эллипса или гиперболы и в случае параболы. Пусть - точка пересечения прямой, проведенной через , перпендикулярно полярной оси и Обозначая через точку пересечения директрисы с фокальной осью, а через - проекцию точки на эту ось, получим, что или где - угол наклона вектора к полярной оси. Это и есть уравнение эллипса, правой ветви гиперболы и параболы в полярных координатах. Этими уравнениями постоянно пользуются в астрономии и в механике.

17) Ä 1°. Конус второго порядка

Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми линиями, проходящими через начало О координат. Естественно называть точку О вершиной конуса.

Для доказательства сформулированного утверждения, очевидно, достаточно установить, что прямая L, соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку

М0(х0, у0, z0) конуса (6) и начало координат О , целиком располагается на конусе, т. е. координаты (х, у, z) любой точки М прямой L удовлетворяют уравнению (6).

Так как точка М0(х0, у0, z0) лежит на конусе (6), то :

Координаты (х, у, z) любой точки М прямой L равны соответственно tx0 , ty0 , tz0 , где t—некоторое число. Подставляя эти значения для х, у и z в левую часть (6), вынося затем t2 за скобку и учитывая (29), мы убедимся в том, что М лежит на конусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостями z = h представляют собой эллипсы с полуосями :

Ä 2°. Эллиптический цилиндр.

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz .

3. Гиперболический цилиндр.

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz .

4. Параболический цилиндр.

a33 z2 + 2q´y = 0                (19)

Путем переименования осей координат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получим новое, компактное уравнение параболического цилиндра.

19)

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид где a и b – полуоси. Точки F₁(c,0) и F₂(-c,0) − c называются фокусами гиперболы, – фокальные радиусы гиперболы; r₁ и r₂ связаны соотношением  |r₁-r₂|=2a. Эксцентриситет гиперболы . Директрисы гиперболы имеют уравнения . Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету гиперболы ε . Асимптоты гиперболы имеют уравнения . Эти прямые не пересекают гиперболу, а любые прямые пересекают ее. Другие уравнения кривых гиперболического типа: 1. Уравнение  задает гиперболу, сопряженную с . 2. Каноническое уравнение  задает пару пересекающихся прямых.

Фокальное свойство гиперболы

Точки и называются фокусами гиперболы, расстояние между ними — фокусным расстоянием, середина отрезка — центром гиперболы, число — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, — действительной полуосью гиперболы). Отрезки и , соединяющие произвольную точку гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения следует, что .

Геометрическое определение гиперболы, выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:

(3.50)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,6). Центр гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки к точке ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат оказалась правой).

Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов и . Для произвольной точки , принадлежащей гиперболе, имеем:

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:

где , т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.S0), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

20)

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Каноническое уравнение параболы имеет вид где p > 0 – параметр параболы. Уравнение директрисы параболы имеет вид: . Точка является фокусом параболы. Расстояние от любой точки параболы до фокуса равно расстоянию до директрисы. Другие уравнения кривых параболического типа: 1. Уравнение задает параболу, симметричную относительно оси Oy ; 2. Каноническое уравнение задает дважды совмещенную ось Oy ; 3. Каноническое уравнение  задает пару параллельных оси Oy прямых x = ±a ; 4. Каноническое уравнение  задает пару мнимых параллельных прямых; 5. Уравнение  задает дважды совмещенную ось Ox ; 6. Уравнение   задает пару параллельных оси Ox прямых y = ±a .

Фокальные свойства параболы

 

Рассмотрим параболу

 (р > 0)                                                   (1-51)

Точка  называется ее фокусом, а прямая  - директрисой.

Для точки M(x, y) ее фокальный радиус r = MF равен

                   (1-52)

Далее, расстояние от точки M(x, y) до директрисы DE

                                                                (1-53)

                                                  Рис. 1.24. Фокальные свойства параболы

Таким образом, парабола представляет собой множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). Это характеристическое свойство параболы.

21)

Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид

.

Координатные плоскости Оyz и OXZ являются плоскостями симметрии: при замене х на - х, у на - у уравнение не меняется. Поверхность проходит через начало координат и расположена над плоскостью Оху, так как z ≥ 0.

При сечениях z = h получаются эллипсы

,

полуоси которых , растут с ростом h. При сечении плоскостями х = 0 и у = 0 получаются параболы , , точки которых являются вершинами указанных выше эллипсов.

22)

Определение Эллипсом называется множество всех точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a . Каноническое уравнение эллипса имеет вид где a – большая полуось; b – малая полуось. Точки F₁(c,0) и F₂(-c,0) − c называются фокусами эллипса, Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом Определение 3.5.3. Фокальным радиусом называется расстояние от некоторой точки кривой до фокуса. Фокальные радиусы эллипса r₁ и r₂ связаны соотношением С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами d₁ и d₂ , уравнения которых имеют вид . Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса ε.

Частным случаем уравнения эллипса при является уравнение окружности с центром в точке O(0,0) и радиусом a. Каноническое уравнение окружности с центром в точке O′(a,b) и радиусом r имеет вид . Другие канонические уравнения кривых эллиптического типа: 1. Уравнение  задает точку O(0,0); 2. Уравнение  задает мнимый эллипс; 3. Уравнение  задает мнимую окружность.

23)

Пусть точка M, принадлежащая эллипсу, удалена от главной оси x на расстояние MM₁ = y, а от главной оси y - на расстояние MM₂ = x (см. Рис. 18). Симметрия эллипса позволяет ограничиться рассмотрением точек эллипса, расположенных внутри одного из прямых углов, образованных главными осями x и y. Из соотношений (2) следует:

После исключения r и d, получим:

откуда, умножая обе части равенства на a и учитывая соотношения (2), найдем окончательно:

b²x² + a²y² = a²b²

или

     (3)

Если главные оси эллипса принять за оси координат прямоугольной декартовой системы координат, то координаты всякой точки эллипса будут удовлетворять уравнению (3), и наоборот, всякое решение уравнения (3) представляет собой координаты точки, принадлежащей эллипсу. Уравнение (3) называется уравнением эллипса, отнесенного к его главным осям, как к осям координат.

    24)

Точки , и называются фокусами эллипса, расстояние между ними — фокусным расстоянием, середина отрезка — центром эллипса, число — длиной большой оси эллипса (соответственно, число — большой полуосью эллипса). Отрезки и , соединяющие произвольную точку эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Из определения следует, что . При , т.е. при , фокусы и , а также центр совпадают, и эллипс является окружностью радиуса (рис.3.36,6).