Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

ДВНЗ «Червоноградський гірничо-економічний коледж»

Методичне забезпечення самостійної роботи студентів

з предмету

«Математичний аналіз»

для спеціальності 5.05010301

«Розробка програмного забезпечення»

Викладач: Билень Л.Б.

РОЗГЛЯНУТО ТА СХВАЛЕНО

на засіданні циклової комісії

природничо-математичних дисциплін

Голова комісії

________________М.Д. Книш

Протокол №__

від «__» __________ 20____

Червоноград 20__р.

Тема 1. Диференціальне числення функції однієї змінної ( 14 год.)

План

1.Нескінченно великі та нескінченно малі величини . Зв’язок між ними.

2.Властивості нескінченно малих величин.

3.Означення похідної.Похідні основних елементарних функцій.Правила диференціювання.

4.Геометричний та механічний зміст похідної.Дотична до кривої.

5.Зв’язок між неперервністю та диференційовністю функцій.

6Основні теореми диференціального числення.Правило Лопіталя.

7.Застосування диференціала до наближених обчислень.

Література.Барковський В.В.,Барковська Н.В. Математика для економістів.ч.1.

В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик .Математика.

ІНДИВІДУАЛЬНІ СЕМЕСТРОВІ ЗАВДАННЯ

Знайти похідні функцій.

1.

2. у=

3.у= 4.у=

5.у=

6.у=

7.у=

8.у=

9.у=

10.у=

11.у=

12. у=

13.у= 14.у=

15.у= 16.у=

17. у= 18.у=

19.у= 20.у=

21.у=

22.у=

23.у= 24.у=

25.у=

ГЕОМЕТРИЧНИЙ ТА МЕХАНІЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ.ДОТИЧНА ДО КРИВОЇ.

Механічний зміст похідної: похідна S`(t) є величиною миттєвої швидкості в момент t тіла, що рухається за законом S=S(t)/

Геометричний зміст похідної:похідна f`(x) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції у=f(x) в точці з абсцисою х.

Рівняння дотичної до графіка функції у=f(x) у точці з абсцисою має вигляд

У=

ЗАВДАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1.В якій точці дотична до графіка функції у= паралельна осі абсцис.

2.При якому значенні а крива у= перетинає вісь Ох під кутом .

3.Скласти рівняння дотичної до параболи у= в точці (3;4).

4.Два тіла рухаються прямолінійно : одне згідно закону ,а друге – згідно закону .Знайти момент часу, коли швидкості цих тіл будуть рівними.

ЗВ'ЯЗОК МІЖ НЕПЕРЕРВНІСТЮ ТА ДИФЕРЕНЦІЙОВНІСТЮ ФУНКЦІЙ .

ТЕОРЕМА. Якщо функція у=f(х) диференційовна в деякій точці , то вона в цій точці

неперервна.

НАСЛІДОК.З цієї теореми випливає , що неперервність функції є необхідною умовою

Диференційовності функції . Це означає, що в точках розриву функція не

має похідних , тобто вона не диференційовна.

ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ . ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ.

Теорема Лагранжа. Якщо функція у=f(x) неперервна на [a,b] і має похідну в усіх точках

інтервала (а;b) , то всередині цього інтервалу існує хоч би одна точка с

( а <c<b) така ,що виконується рівність

.

Теорема Ролля. Якщо функція у=f(x) неперервна на відрізку [a;b] ,диференційовна в усіх

внутрішніх точках цього відрізка ,а на його кінцях приймає рівні значен-

ня .то похідна f`(x) дорівнює нулю хоч би в одній внутрішній точці с

(a<c<b) цього відрізка.

Правило Лопіталя. Нехай f(x) та g(x)-неперервні та мають похідні в усіх х а з околу точ-

ки х=а ,а в точці а рівні нулю або нескінченності.Тоді границя відно-

шення функцій дорівнює границі відношення їх похідних ,якщо остання

існує, тобто

.

Якщо відношення знову є невизначеністю вигляду або і похідні f`(x) та

g`(x) задовільняють умовам правила Лопіталя , то для обчислення границі можна засто-совувати правило Лопіталя вдруге і т. д.

Приклад. Обчислити .

В данному випадку та задовольняють умовам правила Лопіталя .Відно-

шення їх є невизначеністю вигляду при х . Застосувавши правило Лопіталя,

одержуємо:

.

ЗАВДАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ.

Обчислити границі:

1.

2.

3.

4.

Застосування диференціала до наближених обчислень

Головна частина приросту функції , яка лінійно залежить від приросту аргумента,називається диференціалом функції , позначається dy і обчислюється згідно

формули dy=f`( ) .

Диференціал використовується для обчислення наближеного значення приросту функції

та наближеного значення фукції f(x+ x) f(x)+dу.

Приклад. Користуючись поняттям диференціала функції , знайти наближене значення

приросту функції f(x)= при зміні аргумента х від 5 до 5,01.

Розв’язування. , f`(x)= , f`( 5)= , х=5,01-5=0,01

.

Приклад. Знайти наближене значення функції у= при х=2,004.

Розв’язування. f(x+ =f(2,004)=f(2+0,004) f(2)+dу

f(2)= , f`(x)= , f`(2)=

dу= 0,004=0,002 f(2,004)=2+0,002=2,002.

Література. В.Т.Лисичкин , И.Л.Соловейчик. Математика.

В.В.Барковський , Н.В.Барковська . Математика для економістів.

ІНДИВІДУАЛЬНІ СЕМЕСТРОВІ ЗАВДАННЯ

Знайти наближене значення приросту функції при заданій зміні аргументу

1. у= від 3 до 3.1

2. у= при х=3 і

3.у= ln x при х=10 і

4.у= при х=2 і

5. у= при х=3 і

6. у= при х=1 і

7. у= від 1 до 1.02

8. у= при х=2 і

9. у= при х=3 і

10. у= при х=2 і

Обчислити значення функцій

11. у= при х=10.03

12. у= при х=3.002

13. у= при х=24.99

14. у= при х= 1.96

15.

16. 24.

17. 25.

18. 26.

19. 27.

20. 28.

21. 29.

22. 30.

23.