МАТЕМАТИКА(Lek_13-24_1_ivi)

Ëåêöiÿ 13. Вступ до математичного аналiзу

13.1.Квантори

iсну¹, для кожного (для будь-якого),

Якщо множина склада¹ться з скiнченно¨ кiлькостi елементiв, ¨¨ називають скiнченною, в iншому випадку нескiнченною.

Множина B назива¹ться пiдмножиною множини A, якщо кожен елемент множини B належить множинi A, i позначають B A. Справедливо N Z Q R.

Об'¹днанням множин назива¹ться множина, яка склада¹ться з елементiв, що входять в хоча б одну з цих множин. Об'¹днання познача¹ться символом . Наприклад, R = Q J.

Перетином множин назива¹ться множина, яка склада¹ться з елементiв, якi ¹ для них спiльними. Познача¹ться перетин символом ∩. Наприклад, [0; 2) ∩ [1; 3] = [1; 2).

Символом \ познача¹ться виключення. Тобто множина A\B склада¹ться з елементiв, якi ¹ елементами множини A, але не ¹ елементами B. Наприклад, R \ Q = J.

13.3. Функцi¨

Величина, яка зберiга¹ одне i те саме значення назива¹ться сталою (π ≈ 3.14, e ≈ 2.7). Величина, яка може набувати рiзних числових значень назива¹ться çìiííîþ.

Означення 13.1. Якщо кожному елементу x X за певним правилом f ставиться у вiдповiднiсть ¹диний елемент y, то кажуть, що на множинi X задана функцiя y = f(x).

При цьому x називають аргументом функцi¨ або незалежною змiнною, y залежною змiнною. Множину тих x, ïðè ÿêèõ f ма¹ змiст назива¹ться областю визначення функцi¨ i познача¹ться D(f), а множину тих y, якi можна отримати у результатi дi¨ функцi¨ f ¨¨

областю значень i позначають E(f).

Залежнiсть мiж x òà y (функцiю) можна задати таблично, графiчно або аналiтично (формулою).

Якщо залежнiсть y âiä x задана у виглядi y = f(x), то кажуть, що функцiя задана ÿâíî. Проте залежнiсть y âiä x можна ще задати у виглядi рiвняння F (x, y) = 0 íå-

{ÿâíî задати функцiю, а також у виглядi залежностi вiд допомiжного параметра, тобто x = x(t)

y = y(t) параметрично.

√

Наприклад, y = 9 − x2 зада¹ функцiю явно, вираз x2 + y2 = 9 ïðè y ≥ 0 òóæ çàëå-

{

x = 3 cos t

жнiсть зада¹ неявно, а y = 3 sin t ïðè t [0; π] параметрично (у всiх трьох випадках ма¹мо верхн¹ пiвколо радiуса 3 з центром у початку координат).

Означення 13.2. Нехай заданi функцi¨ y = f(x) òà z = g(y). Функцiя z = g(f(x)) назива¹ться суперпозицi¹ю функцiй f òà g.

37

Суперпозицiя дâох або бiльше функцiй назива¹òüñÿ складеною√ функцi¹ю. Напри-

√ √

êëàä, ÿêùî f(x) = x, g(x) = sin x, òî g(f(x)) = sin x, à f(g(x)) = sin x.

Степенева, показникова, логарифмiчна, тригонометричнi та оберненi тригонометричнi функцi¨, а також ¨хнi суми, рiзницi, добутки, частки та суперпозицi¨ називають елементарними функцiями.

Функцiя f назива¹ться обмеженою зверху на множинi X, ÿêùî

( M)( x X) : f(x) ≤ M.

Функцiя f назива¹ться обмеженою знизу на множинi X, ÿêùî

( M)( x X) : f(x) ≥ M.

Функцiя обмежена зверху i знизу назива¹ться обмеженою, у протилежному випадку

необмеженою.

Òàê y = ex обмежена знизу, бо x R : ex > 0 (рис. 13.1); функцiя y = sin x обмежена (зверху i знизу), бо x R : −1 ≤ sin x ≤ 1; а функцiя y = ln x необмежена (рис. 13.2).

Ðèñ. 13.1. Ðèñ. 13.2.

Функцiя назива¹ться зростаючою на множинi X, ÿêùî

( x1, x2 X) : x1 < x2 f(x1) < f(x2).

Функцiя назива¹ться спадною на множинi X, ÿêùî

( x1, x2 X) : x1 < x2 f(x1) > f(x2).

Функцi¨ y = ex òà y = ln x (рис. 13.1-13.2) зростають на всiй областi визначення. Якщо функцiя зроста¹ на множинi X або спада¹ на X, то вона назива¹ться монотон-

íîþ на множинi X.

Якщо для функцi¨ y = f(x) рiзним значенням аргумента x вiдповiдають рiзнi y, òî

можна встановити обернену вiдповiднiсть x = f−1(y), тобто визначити обернену функцiю

√

f−1. Наприклад, оберненою до f(x) = x3 ¹ функцiя f−1(x) = 3 x; оберненою до f(x) = ex ¹

функцiя f−1(x) = ln x.

Графiки функцiй y = f(x) òà y = f−1(x) завжди симетричнi вiдносно прямо¨ y = x (äèâ. ðèñ. 13.1 òà 13.2).

Якщо функцiя y = f(x) монотонна на D(f), то оберена до не¨ iсну¹ i також монотонна на D(f−1) = E(f).

ßêùî

( x D(f)) : f(−x) = f(x)

38

функцiя назива¹ться парною; ÿêùî

( x D(f)) : f(−x) = −f(x)

непарною.

Графiк парно¨ функцi¨ симетричний вiдносно осi Oy, а графiк непарно¨ функцi¨ симе-

тричний вiдносно початку координат. Функцiю вигляду

Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a2x2 + a1x + a0,

äå ai дiйснi числа (i = 1, n), an ≠ 0, називають многочленом порядку n. Зокрема, функцiя y ≡ const ¹ многочленом нульового степеня, лiнiйна функцiя y = ax + b першого степеня, квадратична y = ax2 + bx + c другого i т. д.

Вiдношення двох многочленiв назива¹ться дробово-рацiональною функцi¹ю.

39

Для скiнченного числа x0 i δ > 0 множина точок на числовому променi, якi знаходяться вiд точки x0 не дальше нiж на вiдстанi δ назива¹ться δ-околом точки x0

Uδ(x0) = (x0 − δ; x0 + δ).

δ-околом +∞ назива¹ться

Uδ(+∞) = (δ; +∞),

à äëÿ −∞ âiäïîâiäíî

Uδ(−∞) = (−∞; −δ).

Зазвичай пiд δ розумiють для скiнченних точок досить мале число, а для ±∞ достатньо велике.

Визначення границi можна сформулювати i на мовi околiв, при цьому x0 òà A не обов'язкого скiнченнi, а можуть бути i ±∞.

Означення 14.2. A назива¹ться границею функцi¨ f(x) â x0, якщо для кожного числа ε > 0, iсну¹ таке число δ > 0, ùî ÿêùî x Uδ(x0), òî f(x) Uε(A).

Приклад 14.1. Довести, що lim(2x + 1) = 3

(x + π) Uδ(+∞), à sin(x + π) = − sin x / UA\2(A). Тобто, A > 0 не може бути границею.

Аналогiчно доводиться, що жодне вiд'¹мне число не може бути границею.

Нуль також не ¹ границею, бо завжди можна пiдiбрати таке велике значення аргумента в якому синус рiвний одиницi, а отже, не потрапля¹ в малий окiл нуля.

40

Теорема 14.1. Якщо функцiя в точцi ма¹ скiнченну границю, то вона обмежена в околi цi¹¨ точки.

Справдi, якщо lim f(x) = A, òî ε > 0 δ > 0, òàêå, ùî

x→x0

x Uδ(x0) f(x) Uε(A) A − ε < f(x) < A + ε .

Теорему доведено.

14.2.Властивостi границь

1.ßêùî x0 належить до областi визначення елементарно¨ функцi¨, то

lim f(x) = f(x0).

x→x0

2.Якщо границя iсну¹, то вона ¹дина.

3.Якщо iснують скiнченнi границi lim f(x) = A, lim g(x) = B, òî:

x→x0 x→x0

41

òî

lim f(x) = A.

x→x0

Зауваження 14.1. Властивостi 3-8 та теореми 14.2-14.3 залишаються справедливими, якщо x0 = ±∞.

42

Ëåêöiÿ 15. Невизначеностi. Перша та друга важливi границi

15.1. Невизначеностi

Часто при обчисленнi границь виника¹ ситуацiя коли результат знаходження границi не очевидний, а саме коли ма¹мо випадки:

ˆх називають невизначеностями. Випадки невизначеностей потребують додаткових перетворень.