39. Точки разрыва

Определение

Точка называется точкой разрыва функции , если не непрерывна в , т.е. если

1. или (тогда )

2. или

3. или

Определение (предел справа)

, если для любой последовательности , такой, что и , последовательность значений функции имеет предел .

Определение (предел слева)

для любой : и последовательность

Определение

называется точкой разрыва 1-го рода для функции , если - точка разрыва, но существуют конечные односторонние пределы ( ) и .

Определение

называется точкой разрыва 2-го рода для функции , если хотя бы один из односторонних пределов и не существует (или ).

[_]

40. Бесконечно малые величины

Определение

Функция называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке (или при ), если .

Теорема

Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при , а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при .

Доказательство

Пусть и , а - ограниченная функция. Тогда

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть при функции и являются бесконечно малыми. Тогда

1. если , то - бесконечно малая более высокого порядка, чем

2. если , то и - бесконечно малые одного порядка

3. если , то и - эквивалентные бесконечно малые ( )

4. если , то - бесконечно малая -го порядка относительно

[_]

41. Определение производной. Геометрический смысл производной. Связь непрерывности и дифференцируемости функции

Определение

Рассмотрим функцию . Пусть - фиксированная точка из и существует отрезок . Тогда для точек и определено приращение . Производная

называется дифференцируемой, если существует для .

Геометрический смысл

Касательная к кривой в точке - это предельное положение секущей при стремлении точки к точке по кривой . Пусть . Из :

При . Тогда

Т.е. - тангенс угла наклона касательной к кривой в точке (угловой коэффициент касательной).

Уравнение касательной

Теорема

Если для функции в точке существует производная , тогда непрерывна в точке .

Доказательство

Пусть непрерывна в .

[_]

42. Правила дифференцирования. Производная сложной функции

Правила дифференцирования

Пусть ,

1.

2.

3.

Производная сложной функции

Пусть , - дифференцируемые функции. Тогда

Доказательство

[_]

43. Дифференциал: определение, геометрический смысл

Определение

,

где - приращение. Дифференциал зависит от и от .

Геометрический смысл

Из :

Следовательно, - приращение касательной к кривой в точке .

Почему ? Рассмотрим функцию .

Новое обозначение производной:

Что дает ? Из чертежа

Доказывается, что при .

Определение

- главная (основная) часть приращения функции :

[_]

44. Определения производных высших порядков

Пусть существует . Тогда

[_]

45. Правило Лопиталя

Пусть или . Если , то .

[_]

46. Исследование функции на монотонность

Теорема

Пусть функция возрастает (убывает) на некотором интервале ( на

Доказательство

Пусть возрастает, тогда при

для

Используем теорему Лагранжа. Пусть непрерывна и дифференцируема на . Тогда :

Пусть для . Возьмем , . По теореме Лагранжа

возрастает.

[_]

47. Экстремум функции. Теорема Ферма. Необходимое условие существования экстремума

Определение

называется точкой (локального) ( ) функции , если существует окрестность точки - такая, что ( ) для .

Теорема Ферма

Пусть имеет ( ) в точке и ее производная непрерывна, тогда в точке экстремума .

Доказательство

Пусть - точка максимума, тогда до возрастает при (см. билет №46), а после убывает при (см. билет №46). Так как непрерывна, то .

Следствие (необходимое условие существования экстремума функции)

Для существования экстремума функции в точке необходимо (но не достаточно), чтобы или не существовала.

[_]