- •30. Собственные векторы линейного преобразования. Вид матрицы линейного преобразования в базисе из собственных векторов
- •31. Диагонализируемые линейные преобразования. Достаточные условия диагонализируемости линейного преобразования
- •32. Симметричные линейные преобразования, их свойства
- •33. Расстояние между точками на числовой прямой, окрестность точки. Определение функции
- •34. Предел последовательности: определение, свойства. Число
- •35. Предел функции: определение, свойства. Замечательные пределы
- •36. Непрерывность функции в точке: определение, теорема о приращении
- •37. Непрерывные функции, их свойства
- •38. Свойства непрерывных на замкнутом отрезке функций
- •39. Точки разрыва
- •40. Бесконечно малые величины
- •41. Определение производной. Геометрический смысл производной. Связь непрерывности и дифференцируемости функции
- •42. Правила дифференцирования. Производная сложной функции
- •43. Дифференциал: определение, геометрический смысл
- •48. Достаточные условия существования экстремума в терминах первой и второй производной
34. Предел последовательности: определение, свойства. Число
Определение
Числовая последовательность – это отображение , т.е. . Каждому натуральному числу (номеру) ставится в соответствие действительное число. Последовательность обозначается или
Пример
:
Определение
Число называется пределом последовательности (обозначается ), если для любого существует номер , такой что для или (или ).
Теорема
Предел = этой : для последовательности .
Доказательство
Для любого .
Теорема (единственность предела последовательности)
Если существует предел последовательности , равный , и существует предел последовательности . Тогда .
Доказательство
Существует : ( ).
Для достаточно больших и - противоречие, так как это пересечение пустое.
Арифметические свойства предела последовательности
Пусть и . Тогда
1. Предел
2.
3. , если все и .
Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности
Пусть
(или )
Тогда существует предел такой последовательности и этот предел (или )
Пример
Рассмотрим последовательность
Отметим, что , значит по теореме выше
[_]
35. Предел функции: определение, свойства. Замечательные пределы
Определение
Число называется пределом функции при (возможно, что - области определения), если для любой последовательности значений аргумента, такой, что , и , соответствующая последовательность значений функции имеет предел : . Сокращено
для любой : выполняется
Свойства предела функции
(аналогичны свойствам предела последовательности)
Пусть и . Тогда
1. Предел
2.
3. , если на всей области определения и .
Предельный переход в неравенствах
Пусть в некоторой окрестности точки для любого . Если существует и существует , то
Замечательные пределы
1.
2.
[_]
36. Непрерывность функции в точке: определение, теорема о приращении
Определение
Функция непрерывна в точке , если
( )
Определение
Пусть , - близкая к точка, , . Тогда - приращение (изменение). Так как , то .
- приращение функции при переходе от к :
Теорема
Функция непрерывна в точке .
Доказательство
непрерывна в .
[_]
37. Непрерывные функции, их свойства
Определение
Функция называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке - ее области определения.
Теорема
Каждая элементарная функция непрерывна (в ее области определения).
Теорема
Если функции и непрерывны, то следующие функции также непрерывны:
, , (при )
Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция непрерывна в , а функция непрерывна в . Сложная функция непрерывна в : непрерывна в .
[_]
38. Свойства непрерывных на замкнутом отрезке функций
Теорема
Непрерывная на замкнутом отрезке функция принимает на свое наименьшее значение и наибольшее значение , т.е. такие, что и .
Теорема
Пусть функция непрерывна на и принимает на его концах значения разных знаков: . Тогда .
[_]