Уравнение движения в общей теории относительности

Влияние гравитационного поля на движение частиц в ньютоновской механике хорошо изучено. Уравнение движения частицы представляет собой уравнение в левой части которого стоит ускорение пробной частицы умноженное на массу частицы (в данном случае это инертная масса), в правой части уравнения стоит гравитационная сила. Гравитационная сила, в свою очередь, представляет из себя произведение массы пробной частицы (в данном случае - гравитационной массы) на ускорение со стороны тяготеющего тела:

Поскольку инертная масса тела равна его гравитационной массе (это формулировка принципа эквивалентности, многократно проверенного экспериментально), то движение пробной частицы не зависит от массы этой частицы - перо птицы и кирпич падают в гравитационном поле с одинаковым ускорением (конечно, если пренебречь сопротивлением воздуха).

В общей теории относительности роль гравитационной силы играет кривизна пространства - времени. Движение в гравитационном поле - это движение в искривленном пространстве, отклонение от движения по прямой линии - это отклонение в движении возникающее в искривленном пространстве времени.

Вспомним вначале уравнения движения в специальной теории относительности.

8.1 Уравнение движения пробной частицы в сто

В специальной теории относительности уравнение движения пробной частицы имеет вид:

(8.1)

где - 4 скорость частицы (физическое определение) или вектор, касательный к траектории частицы (математическое определение). Отметим, что - величина безразмерная, а имеет размерность [см]. Другими словами, слева стоит величина, которая имеет размерность силы г .

Уравнения движения электрона в электромагнитном поле имеют вид:

(8.2)

Сила, которая стоит в левой части уравнения является 4 инвариантной силой Лоренца, построенной из тензора Максвелла .

В случае, когда действующие силы равны нулю , то движение частицы происходит по инерции. Тогда решение уравнения 8.1 имеет тривиальный вид:

			(8.3)
			(8.4)

Движение по инерции - это движение по прямой линии. Прямая линия является линией кратчайшей длины между двумя точками в эвклидовой и псевдоэвклидовой геометрии. В неэвклидовой геометрии линия кратчайшей длины называется геодезической линией. Движение в случае, когда внешние силы равны нулю, в неэвклидовой геометрии заменяется общековариантным уравнением - движением по геодезической линии.

Отметим также, что решение (8.3) описывает также движение фотона, если полагать, что - единичный вектор в направлении распространения фотона, а - афинный параметр вдоль траектории.

В специальной теории относительности в отличие от классической механики масса тела не является мерой количества вещества. Это объясняется тем, что в релятивистской теории в понятие материи включается не только вещество (протоны, электроны, нейтроны), но и излучение (фотоны). Здесь учитывается, что энергия отдельных частиц очень велика, масса будет определяться не столько числом частиц, сколько их энергиями и взаимной ориентацией импульсов.

В СТО масса движущегося тела не является мерой его взаимодействия с гравитационным полем, так как это поле зависит от энергии и импульса тела.

Масса тела, движущегося со скоростью, близкой к скорости света, не является мерой его инертности. Из постулатов теории относительности вытекает, что скорость частицы может быть либо равна скорости света во всех инерциальных системах, либо меньше скорости света. Соответственно рассматриваются два класса частиц. Частицы, движущиеся с абсолютной скоростью, отличаются предельной инерционностью: они всегда движутся только по инерции и не могут быть ни замедленны, ни ускоренны. На основании этого предположили, что масса таких частиц равна нулю. Эти частицы называют безмассовыми. В эксперименте такие частицы обнаружены — это фотоны (см. § 19.6) и нейтрино (см. § 23.2—23.3).

При взаимодействии безмассовых частиц с частицами вещества выполняются законы сохранения энергии и импульса, о чем свидетельствуют опыты по взаимодействию фотонов и нейтрино с атомами, ядрами и элементарными частицами. Это позволяет утверждать, что безмассовые частицы обладают энергией и импульса . При этом во всех инерциальных системах отсчета вектор импульса такой частицы и ее энергия отличны от нуля, так как частицу, движущуюся со скоростью света с, остановить нельзя. Возможно лишь одновременное обращение в нуль и безмассовой частицы, что будет означать прекращение ее существования (например, в результате поглощения частицей вещества). Для безмассовых частиц имеет место соотношение

Это выражение справедливо для безмассовых частиц во всех инерциальных системах отсчета.

В отличие от безмассовых частиц, движущихся с абсолютной скоростью, существуют частицы (например, частицы вещества), которые всегда движутся со скоростью Скорости таких частиц в зависимости от их индивидуальных качеств и взаимодействий с другими частицами могут изменяться в широких пределах от нуля до любого значения Это свойство частиц определяется наличием у них массы. Их называют массовыми частицами. Масса есть их индивидуальная характеристика, масса частицы абсолютна: она не зависит от выбора инерциальной системы отсчета, а значит, и от скорости движения частицы.

В СТО релятивистский импульс свободно движущейся частицы (или системы частиц, или тела) определяется формулой где — скорость частицы, — ее энергия, определяемая из соотношения между энергией и импульсом: где m — масса частицы. При этом энергия и импульс изменяются при переходе от одной ИСО к другой (согласно преобразованиям Лоренца), а масса не изменяется.

Инвариантной относительно преобразований Лоренца (18.1) является разность Энергия и импульс одновременно обратиться в нуль могут только для безмассовых частиц.

Если тело массой m покоится, p = О, то энергия тела не обращается в нуль. Это энергия покоя, ее называют собственной энергией частицы.

Если в формулу соотношения между энергией и импульсом подставить значение модуля импульса то получим

Откуда полная энергия тела

(18.5)

Подставим значение W в формулу для импульса

(18.6)

Последняя формула определяет релятивистский импульс тела, движущегося со скоростью , близкой к скорости света с.

Нужно отметить, что как и в классической механике, энергия обладает аддитивностью для свободных тел (в отсутствие взаимодействия), а импульс всегда аддитивен, т. е. полные импульс и энергия системы n свободных тел В случае замкнутой физической системы являются справедливыми законы сохранения импульса и энергии.

Кинетическая энергия частицы W_к в некоторой системе отсчета определяется как разность между ее полной энергией и энергией покоя

(18.7)

При скорости кинетическая энергия тела

т.е. определяется по формуле кинетической энергии в ньютоновской физике.

В релятивистской физике масса совокупности частиц не равна суммарной массе отдельных взаимодействующих частиц.