1. Определение слу. Метод Гаусса решения слу.

С ЛУ – это объединение из m линейных уравнений, каждое из которых содержит m переменных.

Решением СЛУ называется упорядоченный набор чисел (n₁,n₂,…,n_n), который при подстановке в это уравнение вместо переменных x₁,x₂,…,x_n даёт верное тождество. Соответственно, решить систему уравнений – значит найти множество всех её решений или доказать, что это множество пусто, т.е. решений нет.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводиться к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

2. Определение матрицы, операций над матрицами. Свойства операций над матрицами.

Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

1.Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m*n называется матрица С=А+В, элементы которой с_ij = a_ij + b_ij для j=1,2,…,n(т.е матрицы складываются поэлементно). 1. Ассоциативность: (А+В)+С=А+(В+С). 2. Коммутативность: А+В=В+А. 3. Нулевая матрица: матрица О, все элементы которой равны 0. 4. Противоположная матрица: для любой матрицы А существует такая матрица В, что А+В=0.

2.Умножение матрицы на число. Произведением матрица А на число λ называется матрица В = λА, элементы которой b_ij = λa_ij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. 1. Ассоциативность: (ав)А=а(вА). 2. Дистрибутивность: (а+в)А=аА+вА; а(А+В)=аА+аВ. 3.Вычитание матриц. Разность двух матриц А и В одинакового размера определяется через предыдущие операции: А-В=А+(-1)В. 4.Умножение двух матриц. Умножение матрица А на матрицу В определенно, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц А_m*k *B_k*n называется такая матрица С_m*n, каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В. 1.Не коммутативность:произведение матриц в общем случае не коммутативно. 2.Ассоциативность: (А*В)*С=А*(В*С). 3.Единичная матрица:матрица, у которой все диагональные элементы равны единицы. 4.Дистрибутивность:А*(В+С)=А*В+А*С. 5.Транспонирование матрицы-переход от матрицы А к матрице А^t, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А^t называется транспонированной относительно матрицы А. Свойства операции транспонирования: 1) (A^t)^t=A. 2) (λA)^t=λA^t. 3) (A+B)^t=A^t+B^t. 4)(AB)^t=B^tA^t.

3. Определение определителя. Основные свойства определителя.

Определителем квадратной матрицы n-го порядка, или определителем n-го порядка, называется число, равное алгебраической сумме n!членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1)^r(J), где r(J)-число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания.

Свойства: 1. Равноправие строк и столбцов: Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы. 2.Линейность: Если два определителя одинаковых порядков различаются между собой только элементами j-го столбца, то их сумма равна определителю, элементы j-го столбца которого равны суммам соответствующих элементов j-х столбцов исходных определителей, а остальные элементы те же, что у исходных. 3.Кососимметричность: Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).