- •Матрицы. Линейные операции над матрицами.
- •Умножение матриц.
- •Свойства определителей
- •Минор, алгебраическое дополнение, теорема лапласа.
- •Обратная матрица.
- •Ранг матрицы. Вычисление ранга.
- •Системы лау. Методы решения невырожденных систем.
- •Векторы. Линейные операции над векторами.
- •Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.
- •Скалярное произведение векторов
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.
- •Деление отрезка в данном отношении
- •Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.
- •Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно 2-м векторам.
- •Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- •Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
- •Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
- •Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение к каноническому виду.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Общее уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэффициентом.
- •Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •Угол между прямыми на плоскости.
- •32. Предел последовательности и его свойства.
- •Число е.
- •Предел функции в точке, бесконечности. Односторонние пределы.
- •Теоремы о пределах функции.
- •Первый замечательный предел.
- •Второй замечательный предел. Эквивалентность бесконечно малых.
- •Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Производная. Геометрический и механический смысл производной.
- •Дифференцирование суммы(разности) функций.
- •Дифференцирование произведения функций.
- •Дифференцирование частного двух функций.
- •Производная сложной и обратной функции.
- •Логарифмическое дифференцирование и его применение.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Дифференциал. Инвариантность формы.
- •Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
- •Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.
- •Экстремум функции. Второе достаточное условие экстремума.
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •Ассимптоты графика функции.
- •Формула тейлора.
Ранг матрицы. Вычисление ранга.
Пусть Аmxn – произвольная мтарица.
Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от 0.
r(A) , rA
0<= r(A) <= min(m,n)
r(A)=0 A=0mxn
r(An) = n detA 0
всякий ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором, а строки и столбцы, в которых он расположен, называются базисными
вычисление ранга при помощи элементарных преобразований
к элементарным преобразованиям матриц относятся:
перестановка местами любых 2х строк (столбцов)
умножение любой строки (столбца) на любое число, отличное от нуля
прибавление к одной строке (столбцу) любой другой строки (столбца), умноженной на любое число
вычеркивание нулевой строки (столбца)
теорема: элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Поэтому ранг вычисляется приведением матрицы к треугольному или трапециевидному виду (при помощи элементарных преобразований)
Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы.
Пусть даны k+1 строка матрицы A,A1,A2...Ak
Говорят, что строка А является линейной комбинацией строк A,A1,A2...Ak если сущестуют числа x1, x2...xk R такие, что A = x1A1+x2A2+...+xkAk
Определение: система строк A,A1,A2...Ak матрицы называется линейно-зависимой если хотя бы одна строка является линейной комбинацией остальных. Две строки линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны т.е. А1=хА2. В противном случае строки называются линейно независимыми.
Теорема: ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы.
Системы лау. Методы решения невырожденных систем.
Системой m линейных алгебраических уравненией от n неизвестных (переменных) называется совокупность формальных равенств вида
(1)
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.....................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
где aij, bi R – заданные числа, х – формальный символ
1 <= i <= m; 1<= j <= n
Если все bi = 0, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной. С каждой системой связаны 2 матрицы.
А =
И =
Которые называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно.
Рассмотрим матрицы-столбцы
Х = B=
Т.к. пара матриц А и Х согласованно, то их можно перемножить:
АХ = a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn bm
используя равенства матриц систему (1) теперь можно записать в виде
(2) АХ = В
Такая запись системы называется матричной.
Решением системы (1) называется любая упорядоченная совокупность n-чисел (с1, с2, ... сn), при подстановке которых вместо (x1, x2, ... xn) соответственно, каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, в противном случае – несовместной. Решить систему – означает найти все ее решения.
2 системы называются эквивалентными или равносильными, если у них одинаковые множества решений.
Решение невырожденных систем.
Если m=n то матрица А = Аnxn – квадратная и имеет определитель det(A) = .
Если 0, то система называется невырожденной, в противном случае – вырожденной.
Пусть система 1 невырожденная и записана в матричном виде АХ = В.
Т.к. 0 , то А имеет А-1
И, умножая матричное ур-е АХ = В слева на А-1, получим
Х = А-1В (3)
Решение системы по этой формуле называется матричным методом решения систем (методом обратной матрицы)
Формула Крамера
xj = где - det(A),
j – det, полученный из det(A) заменой j-того столбца столбцом свободных членоы.
Метод Гаусса
Суть метода Гаусса основана на след теореме: элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы не изменяют множетсва ее решений. Суть метода заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований привести матрицу системы к наиболее простому виду. Например привести матрицу к такому виду, чтобы в каждом нижестоящем уравнении было хотя бы на одну переменную меньше, чем в вышестоящей. Если преобразованная матрица приведена к треугольному виду, то система имеет единственное решение, начиная с последнего ее уравнения последовательно находят значения всех ее неизвестных.
Для нахождения всех решений системы в трапециевидной матрице системы A3 выбирают любой базисный минор. Столбцы в выбранном миноре соответствуют переменным, которые называются базисными, остальные перемнные называются свободными. Придаваем свободным переменным произвольные значения с1, с2 , сn-k, находим общее решение системы.