- •Матрицы. Линейные операции над матрицами.
- •Умножение матриц.
- •Свойства определителей
- •Минор, алгебраическое дополнение, теорема лапласа.
- •Обратная матрица.
- •Ранг матрицы. Вычисление ранга.
- •Системы лау. Методы решения невырожденных систем.
- •Векторы. Линейные операции над векторами.
- •Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.
- •Скалярное произведение векторов
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.
- •Деление отрезка в данном отношении
- •Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.
- •Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно 2-м векторам.
- •Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- •Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
- •Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
- •Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение к каноническому виду.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Общее уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэффициентом.
- •Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •Угол между прямыми на плоскости.
- •32. Предел последовательности и его свойства.
- •Число е.
- •Предел функции в точке, бесконечности. Односторонние пределы.
- •Теоремы о пределах функции.
- •Первый замечательный предел.
- •Второй замечательный предел. Эквивалентность бесконечно малых.
- •Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Производная. Геометрический и механический смысл производной.
- •Дифференцирование суммы(разности) функций.
- •Дифференцирование произведения функций.
- •Дифференцирование частного двух функций.
- •Производная сложной и обратной функции.
- •Логарифмическое дифференцирование и его применение.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Дифференциал. Инвариантность формы.
- •Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
- •Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.
- •Экстремум функции. Второе достаточное условие экстремума.
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •Ассимптоты графика функции.
- •Формула тейлора.
Дифференциал. Инвариантность формы.
limy=A, y=A+
limy/x=y`, y/x=y`+, y=y`x+x
x0
y=y`x+, где -б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем x(), и ее можно отбросить.
dy=y`x
Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента х и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем х.
Если y=x, то dy=dx=x`x=x, dx=x
Если yx, то dy=y`dx, y`=dy,dx
Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину x
Св-ва: 1. (UV)`=U`V`, то (UV)`dx=U`dxV`dx, d(UV)=d(UV)
2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV
3.d(c)=c`dx=0*dx=0
4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.
ИНВАРИАНТНОСТЬ:
Дифференциал ф-ии всегда равен произведению производной и дифференциала аргумента и не зависит от то, является ли аргумент независимой переменной или промежуточной функцией.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Св-во дифференциала dy -> y при x->0 можно использовать в приближенных вычислениях значений функций.
ydy
y(x0+x) – y(x0) dy(x0)
y(x0+x) y(x0) + dy(x0)
y(x0+x) y(x0) + y’(x0)x
в правой части этой формулы стоит значение ф-ии и ее производной в точке х0. А в левой – значение ф-ии в некоторой другой точке, нахоящейся рядос с х0. Т.о. эта формула позволяет приближенно вычислить значение ф-ии в некоторой точке, зная ее значение и значение производной в некоторой рядом лежащей точке х0.
Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
Определение. Точка х0 называется точкой локального максимума(минимума) если существует окрестность О(х0) такая, что f(x)<=f(x0) (f(x)>=f(x0)) при всех х О(х0)
Значение f(x0) – локальный максимум(минимум). Точки локальных максимумов(минимумов) называются экстремумами функций.
Необходимое условие существования экстремума.
Если в точке х0 f(x) достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна 0 (или не существует).
Дано: в точке х0 f(x) имеет локальный максимум.
Доказать: в этой точке f’(x)=0 или не существует
Доказательство.
Если в точке х0 – локальный максимум, то существует О(х0) , что f(x)<=f(x0) для всех х О(х0).
Выберем х так чтобы х0+х О(х0).
Тогда у=f(х0+х)-f(х0) <= 0при любом х.
Тогда f’(x0) = limx->0y/x
Если x>0, то limx->0+0y/x = f’(x0+0)<=0
Если x<0, то limx->0-0y/x = f’(x0-0)>=0
Если производная существует, то это возможно, когда f’(x0+0)= f’(x0-0)
f’(x0)=0
если эти односторонние пределы отличны от 0, то производная не существует.
Точки, в которых производная не существует – критические точки.
Критические точки, в которых производная равна - - стационарные точки.
Критические точки называются точками, подозрительными на экстремум. Это условие явл необходимым, но не достаточным.
Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.
Пусть х0 – критическая точка ф-ии y=f(x) непрерывной
Если при переходе через эту точку, производная ф-ии меняет знак с – на +, то в этой точке находится локальный минимум, если с + на - , то локальный максимум. Если же производная не меняет знака, то в точке х0 экстремума нет.
Док-во.
Пуст в точке x0-x f’(x)<0
X0+x f’(x)>0 (с – на +) >0
Тогда в точке x0-x ф-я убывает и f(x0)<f(x0-x )
В точке X0+x f’(X0+x)>0 и ф-я возрастает, т.е. f’(X0+x)>f(x0)
X0 – точка локального минимума