33. Дифференцирование суммы(разности) функций.

Пусть u = u(x) , v = v(x) – 2 ф-ии. Тогда

(u±v)’ = u’ ± v’

Доказательство:

x, x+ x тогда y = [u(x+x) ± v(x+x)] – [u(x) ± v(x)] = (u(x + x) – u(x)) ± (v(x + x) – v(x))

тогда y’ = (u ± v)’ = lim_x->0 y/x = lim_x->0 = = lim_x->0 ± lim_x->0 = u’ ± v’

33. Дифференцирование произведения функций.

Замечание: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Пусть u = u(x) , v = v(x) – 2 ф-ии. Тогда

(uv)’ = u’v + uv’

Доказательство: x, x

u(x + x) – u(x) = u

v(x + x) – v(x) = v

тогда:

u(x + x) = u + u

v(x + x) = v +v

пусть y(x) = u(x)v(x)

тогда y = y(x + x) – y(x) = u(x + x) v(x + x) – u(x)v(x) = (u + u)(v + v) – uv = uv + uv + uv + uv – uv = uv + uv + uv

тогда y’ = (uv)’ = lim_x->0 y/x = lim_x->0 = lim_x->0 + lim_x->0 + lim_x->0 = = uv’+u’v + u’ lim_x->0

если ф-я v или u непрерывна, то бесконечно малому x будет соответствовать б.м v и последнее слагаемое стремится к нулю, поэтому (uv)’ = u’v + uv’

33. Дифференцирование частного двух функций.

Доказательство.

x, x

u(x + x) – u(x) = u

v(x + x) – v(x) = v

u(x + x) = u + u

v(x + x) = v +v

тогда:

y = y(x - x) – y(x) = - = - =

Тогда y’ = (u/v)’ = lim_x->0 y/x = lim_x->0 = lim_x->0

Если ф-я v непрерывна, то при x стремящемся к нулю, v стремится к нулю, поэтому

lim_x->0 = v² тогда

33. Производная сложной и обратной функции.

Пусть u = u(x) – некоторая непрерывная ф-я

y = f(u(x)) – сложная ф-я

x, x тогда u(x +x) – u(x) = u => u(x + x) = u + u

y’ = lim_x->0 y/x = = домножим и разделим на u

= если u(x) непрерывна, то x -> 0, то и u->0

= f’(u)u’(x)

Таким образом y(u(x))’ = y’(u)u’(x)

Производная сложной ф-ии равна произведению производной этой ф-ии по промежуточному аргументу (u) на производную промежуточного аргумента по основному аргументу (х).

Производная обратной функции

Пусть y = f(x) – непрерывная ф-я, имеющая обратную

x = f^-1(y) = (y)

тогда x_y’ = ’(y) = lim_y->0x/y = т.к. y стремится к 0, x стремится к 0, то lim_x->01/y/x = 1/y_x’

таким образом x_y’ = ’(y) = 1/y_x’

33. Логарифмическое дифференцирование и его применение.

Пусть ф-я y = f(x) причем f(x) >0 x[a,b]

Иногда находить производную ф-ии удобнее, предварительно ее прологарифмировав. Также бывают ф-ии, для которых это единственны способ найти производную.

Y = f(x), f(x)>0

Возьмем логарифмы обеих частей

lny = lnf(x)

Дифференцируем обе части, считая y ф-ей от x.

y’*1/y = [lnf(x)]’

если производную, стоящую справа, вычислить проще, чем f(x), то метод применен разумно и y’ находится

y’ = y[lnf(x)]’ =>

y’ = f(x)[lnf(x)]’

!применяется при степенно-показательных ф-ях!

33. Производная функции, заданной параметрически.

Пусть ф-я y = y(x) задана параметрически

y(x):{ x= (t)

y=(t) t[a,b]

требуется найти y’(x)

предположим, что ф-я x=(t) имеет обратную. t = ^-1(x), тогда y = (^-1(x)) – сложная ф-я y=(t)

тогда: y’(x) = ’(t)*t’(x)

но t’(x) = 1/x’(t) - производная обратной ф-ии

• y’(x) = ’(t)/x’(t) = ’(t) / ’(t)

т.о. производная y’(x) будет задана параметрически

y’(x): {x=(t)

y’=’(t) / ’(t)

33. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Y=LNX И Y=A^X

y = log_ax

y’ = lim_x->0y/x = = = = = = 1/xlna

( )’ =

В частности, (lnx)’ = 1/x

y = a^x

lny = xlna дифференцируем

y’*1/y = lna => y’=ylna

т.е (a^x)’=a^xlna

в частности, (e^x)’ = e^x

33. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЙ Y=COSX И Y=ARCTGX

y = arctgx x =tgy

1+tg² = (1+sin²)/cos² = 1/cos²

y’ = 1/x_y’ = 1/(tgy)’ = cos²y = 1/ (1/cos²y) = 1/(1+tg²y) =

33. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЙ Y=SINX И Y=ARCCTGX

y=sinx

(sinx)’ = = = = cosx = cosx

y=arcctgx

y’=-1/(1+x²)

33. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЙ Y=CTGX И Y=ARCSINX

(ctgx)’ = (cox/sinx)’ = ((-sinx)sinx – cosxcosx)/sin²x = -1/sin²x

y=arcsinx x=siny

y’=1/x_y’ = 1/cosy = 1/ = 1/

33. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЙ Y=TGX И Y=ARCCOSX

(tgx)’ = (sinx/cosx)’ = (cosxcosx – (-sinx)sinx) / cos²x = 1/cos²x

(arccosx)’ = -1/