1. Волновой процесс: определение, волны поперечные и продольные, волновая поверхность и волновой фронт. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое число и длина волны.

Волновым процессом называют процесс распространения в пространстве возмущения какой-либо физической величины. Например, брошенный в воду камень приводит к вертикальному смещению частиц воды вблизи ее поверхности. Возмущенные частицы, благодаря поверхностному натяжению, воздействуют на соседние невозмущенные, и те также начинают колебаться и т.д.

Если колебания возмущенной величины происходят перпендикулярно направлению распространения волны, то волна называется поперечной, а если параллельно, то продольной. Так, поплавок на воде колеблется вверх-вниз, а волна распространяется в горизонтальном направлении и потому является поперечной.

Геометрическое место (ГМ) точек, до которых доходит волновое возмущение к данному моменту времени, называется фронтом волны, а ГМ точек, колеблющихся в одной фазе, называется волновой поверхностью. Брошенный в воду маленький камень порождает расходящиеся круги, последний из которых - волновой фронт, а любой из внутренних - волновая поверхность.

Уравнение плоской волны.

точка 1, координата которой х = 0, колеблется по закону

(0, t) = A sin t.

(x, t) для любой точки с координатой х. - ?

Возмущение до точки дойдет с запаздыванием на время распространения волны, равное  = x/V, а искомое уравнение запишется как (x, t) = A sin (t - ). В самом деле, если сюда подставить t = , то получим (x, ) = 0, т.е. нулевое начальное состояние (0, 0) за время t =  переместилось в виде волны в точку х.

Поэтому (x, t )= A sin (t - ). В общем случае можно учесть и возможную начальную фазу :

или .

Волновое число.

Расстояние, которое волна проходит в пространстве за время, равное одному периоду колебаний, называется длиной волны (). Скорость распространения волновой картины называется фазовой скоростью (V ). Поэтому

где

Введенное здесь волновое число k, как и длина волны , характеризует пространственную периодичность волнового процесса (равно как  и Т характеризуют временнýю периодичность:  = 2/T).

Длина волны - это минимальное расстояние между двумя точками, колеблющимися в одинаковой фазе. Можно также взять расстояние между соседними горбами или же соседними впадинами.

2. Дифференциальное волновое уравнение Даламбера и его общее решение. Фазовая и групповая скорость. Дисперсия.

Снова вернемся к одномерной задаче, когда плоская гармоническая волна распространяется вдоль направления х. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что (9.2)

( ) удовлетворяет дифференциальному уравнению Даламбера:

. (9.3)

Более того, уравнению удовлетворяет любая функция

f(t  kx+) и суперпозиция (x, t) = A f₁(t - kx+) + B f₂(t + kx+), представляющая собой две волны, бегущие вдоль х во встречных направлениях. Эта суперпозиция и является общим решением (9.3).

Убедимся в этом, дифференцируя (x, t) и подставляя в (9.3) производные:

Отсюда что и требовалось, т.к. k = /V.

Если задача трехмерна, то в декартовой системе координат в левой части (9.3) будет сумма частных производных , которая для краткости обозначается оператором Лапласа , который имеет свое представление и в других системах координат. Поэтому самая общая форма записи уравнения Даламбера выглядит так:

. (9.3а)

До сих пор, говоря о скорости распространения волны, мы имели в виду скорость изменения волновой картины - фазовую скорость V = /k. Наблюдатель, сидя на гребне (или впадине) бесконечной гармонической волны и перемещаясь вместе с ней с такой же скоростью, видит вокруг себя неподвижную картину горбов и впадин. Для передачи информации сигнал должен быть промодулирован, а как следует из теории Фурье, любой негармонический сигнал состоит из бесконечного числа гармонических составляющих, каждая из которых необязательно будет распространяться с одной и той же скоростью. Передача некоторого количества энергии (или "сгустка") осуществляется передачей в пространстве и времени так называемого волнового пакета.

чтобы волновой пакет распространялся через среду без изменения формы огибающей необходимо, чтобы все его гармонические спектральные составляюшие распрострянялись с одной и той же фазовой скоростью. Возвращаясь к проблеме передачи сигнала, отметим, что волна внутри волнового пакета может распространяться со скоростью V (фазовая скорость), которая, вообще говоря, отличается от скорости распространения u всего пакета как целого (групповая скорость), причем всегда u  c, а V может иметь любые значения.

З ависимость фазовой скорости от частоты [или длины волны] V = f () [или V = f ()] называется дисперсией¹. Дисперсия - это свойство среды, в которой распространяется сигнал. В вакууме дисперсия отсутствует.

Связь между фазовой скоростью v_ф и групповой скоростью v_гр: . т.к. , имеем: . Если , то v_гр≠v_ф и существует дисперсия – зависимость v_ф от частоты. Если , дисперсии нет и v_гр= v_ф.

Дисперсия в оптике - это зависимость оптического показателя преломления от длины волны n = f () или частоты. Понятие дисперсии подразумевает зависимость фазовой скорости волны V = c/n от частоты. Классической демонстрацией оптической дисперсии является разложение белого света на семь монохроматических компонент: красную, оранжевую, желтую, зелёную, голубую, синюю и фиолетовую. Самый большой показатель преломления - для фиолетовой компоненты, а самый маленький - для красной. Потому белый свет и разпадается на спектральную полоску, и дело здесь не в излучении, а в среде. Дисперсия - это свойство среды, в которой излучение распространяется!

3. Упругие волны. Скорость продольных и поперечных упругих волн. Плотность потока звуковой энергии и уровень интенсивности звука. Определение децибела. Шкала упругих волн. Инфра- и ультразвук. Методы генерации ультразвука. Понятие об акустической локации

Упру́гие во́лны (звуковые волны) — волны, распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил.

V_ - фазовая скорость распространения продольных упругих волн. Для поперечных волн, когда за процесс распространения отвечает не сжатие-растяжение, а изгиб, получится сходная формула с модулем сдвига G, который так же, как и модуль Юнга Е, является универсальной константой, зависящей от свойств среды: V = V_ . В газах скорость звука (там всегда распространяются только упругие волны!) определяется формулой

V_ = , (9.7)

где  - константа, зависящая от свойств газа; р - среднее давление. Скорость звука в воздухе при комнатной температуре около 340 м/с, в жидкостях - около 1500 м/с, в твердых телах - от 3000 до 5500 м/с.

При cкорости распространения волны V расстояние, проходимое волной за время t, равно Vt, а объем, в котором распространяется волна, равен SVt. Тогда E = wSVt, а энергия, доставляемая волной в единицу времени через единичную площадку (плотность потока энергии), равна .

Этой формуле часто придают векторный смысл: соответствующий вектор называется вектором Умова. Он направлен вдоль направления скорости. Найдем среднее значение величины , поскольку именно оно характеризует интенсивность звуковой волны. Поскольку sin²(...) меняется от 0 до 1, то среднее значение равно ½. Получим . Тогда, по определению, интенсивность звуковой волны равна . Наиболее распространенной величиной, характеризующей воздействие звука на организм человека, является уровень интенсивности звука, измеряемый в децибелах (дБ) и определяемый как

, (9.8)

где j_o = 10^-12 Вт/м² - опорный уровень, принятый за порог слышимости. (Если j = j_o , то L = 0). В табл. 1 приводятся некоторые значения L (при частоте  = 1000 Гц).

Таблица 1 (Уровни интенсивности звука)

Источник звука	Уровень интенсивности L, дБ
Тиканье часов, шопот	20
Офис	40-50
Речь докладчика	60
Автомобильный мотор	70
Цех предприятия, автострада, поезд	80...100
Дискотека, большой оркестр	100...110
Авиационный мотор	>120
Предел болевого ощущения	130

Если расположить упругие волны в порядке возрастания частоты, то получится шкала упругих волн (рис. 9.4).

Из рисунка видно, что слышимый звук образует весьма узкий диапазон от 20 Гц до 20 кГц. Отметим, что этот интервал слышит весьма хорошее ухо. Для подавляющего большинства этот интервал еще ýже (40 Гц < 18 кГц). За слышимым звуком располагается ультразвук, нижняя граница которого еще находится в пределах слышимости для некоторых животных (например, для летучих мышей). Верхняя граница точно не определена.

У льтразвук широко применяется в инженерном деле. Так, ультразвук применяется для очистки внутренних поверхностей блока цилиндров мотора от загрязнений.Получают ультразвук благодаря пьезоэффекту, открытому в 1870 г. Пьером Кюри. Сущность эффекта заключается в том, что вследствие внешней деформации в некоторых кристаллах происходит перестройка структуры, приводящая к возникновению на кристалле электрического напряжения. Эффект обратим, и если к пьезокристаллу прикладывать от генератора электрический переменный гармонический сигнал ультразвуковой частоты, то поверхность кристалла будет совершать механические колебания с той же частотой. Если кристалл привести в тесный контакт с какой-либо средой, то в этой среде будет распространяться ультразвуковая волна.

Инфразвук, расположенный в диапазоне от 0 до 20 Гц, генерировать весьма сложно. Известно, что существуют частоты, действие которых оказывает сильное психологическое и физиологическое воздействие на организм человека, включая нарушение ритма работы сердца и даже его остановку. Так, самые длинные низкочастотные органные трубы генерируют неслышимый человеком звук, оказывающий, тем не менее, исключительно сильное эмоциональное воздействие.

4. Электромагнитные волны. Уравнение Даламбера для плоской гармонической ЭМ волны как следствие уравнений Максвелла. Решение для электрической и магнитной компонент. Скорость в среде и в вакууме. Плотность энергии. Вектор Пойнтинга.

Как уже было сказано выше, возникновение электромагнитной (ЭМ) волны обусловлено тем, что изменяющееся магнитное поле порождает в непосредственной окрестности изменяющееся электрическое поле, которое, в свою очередь, снова порождает изменяющееся магнитное и т.д. Применение уравнений Максвелла для среды даст уравнения Даламбера для волны, распространяющейся вдоль направления х:

; , (10.1)

г де ,  - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости; с - скорость света в вакууме, связанная с электрической и магнитной постоянными соотношением (см. ЧАСТЬ 2). Для гармонических волн решение уравнений (10.1) имеет вид: и , где - амплитуды компонент поля. Как видно из этих соотношений, колебания векторов происходят в направлениях, перпендикулярных направлению распространения х. Таким образом, ЭМ волны поперечны и всегда , как это показано на рис. 10.1. Колебания векторов происходят в одной фазе: их значения через нуль или через экстремальные точки проходят одновременно. Сравнивая (10.1) с (9.3), найдем, что фазовая скорость в среде Величина n, показывающая, во сколько раз фазовая скорость ЭМ волны в среде меньше, чем в вакууме, называется оптическим показателем преломления. При этом мы имеем в виду среды, свойства которых одинаковы по всем направлениям - изотропные среды. Если это не так (анизотропные среды; например, кварц), то n будет тензорной величиной и задаваться матрицей. Для вакуума  =  = 1 и V = c.

Для ЭМ волны плотность энергии определяется суммой электрической и магнитной компонент: , плотность потока энергии - вектором Пойнтинга , где - напряжённость магнитного поля, связанная с магнитной индукцией соотношением . Вектор Пойнтинга, как и вектор Умова в случае упругих волн, определяет направление распространения энергии ЭМ волны.