Вступ
Координатний метод розв'язування задач на сьогоднішній день найбільш потужний і при правильному підході дозволяє розв'язувати фактично всі види математичних, фізичних, астрономічних і технічних задач.
ТЕЗИ
наукової роботи «Координатний метод розв'язування »,
виконаної
Гоменюком Владиславом Валентиновичем– учнем 9-Б класу
гімназії № 59 ім. О. М. Бойченка м. Києва, слухач МАН
педагогічний керівник: Кабанець Тетяна Іванівна –
вчитель-методист гімназії №59 ім.О.М.Бойченка
В своїй роботі я поставив задачу показати, як розв'язуються стереометричні задачі, якщо на них поглянути «по-іншому», тобто розглянути задачу в тривимірній системі координат.
Предметом дослідження є координатно-векторний метод розв’язування стереометричних задач.
Координатно-векторний метод розв’язування стереометричних задач
Деякі метричні задачі зручно розв’язувати за допомогою координатно-векторного методу. Це перш за все завдання, в яких мова йде про куб, прямокутний паралелепіпед або тетраедр з прямим кутом. Прямокутна система координат у просторі природним чином пов'язана з многогранниками, при цьому серед координат їх вершин є багато нулів, що спрощує обчислення.
Сутність координатного методу, як і векторного, полягає в тому, що геометрична задача перекладається на мову алгебри, і її розв’язання зводиться до розв’язання рівнянь, нерівностей чи їх систем.
З курсу стереометрії відомо, що рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно ненульовому вектору в прямокутній системі координат має вигляд:
,
, де
Навпаки, будь-яке рівняння першого степеня визначає в координатному просторі єдину площину, яка перпендикулярна вектору з координатами (A, B, C).
Положення площини в просторі однозначно визначається заданням трьох точок, що не лежать на одній прямій. Нехай дана площина перетинає осі координат в точках , , , але не проходить через початок координат. Підставивши координати цих точок у загальне рівняння площини, отримаємо:
, , ,
де числа відмінні від нуля. Звідси знаходимо:
і рівняння приводиться до вигляду:
Отримане рівняння називають рівнянням площини у відрізках. Його часто застосовують при розв’язуванні задач.
Як відомо, відстань між двома точками і обчислюється за формулою:
Користуючись даною формулою можна легко вивести рівняння сфери.
В прямокутній системі координат рівняння сфери радіуса R з центром в точці має вигляд:
Якщо центр сфери співпадає з початком координат, то рівняння матиме вигляд:
Розглянемо способи задання прямої в координатному просторі.
Нехай пряма l проходить через дану точку і паралельна ненульовому вектору Вектор називають напрямним вектором прямої l (рис. 2).
Довільна точка належить прямій l тоді і тільки тоді, коли вектори
або
де t– деяке число (параметр). Дане співвідношення в координатах рівносильне системі рівнянь:
Дану систему називають параметричними рівняннями прямої.
Якщо пряма l паралельна осі то вектор є напрямним вектором, і рівняння прямої прийме вигляд: (координата z прийме довільне значення).
Нехай жодна з координат вектора не рівна 0. Тоді виключивши з отриманих рівнянь параметр t , отримаємо рівняння:
Отримані рівняння називаються канонічними рівняннями прямої.
Виведемо формулу для обчислення відстані від даної точки до площини , заданої в прямокутній системі координат рівнянням
Нехай перпендикуляр, проведений з точки до площини , перетинає її в точці (Рис. 3).
Тоді
Так як вектор перпендикулярний площині і колінеарний вектору то згідно з визначенням скалярного добутку,
Позначимо Тоді
Виразимо скалярний добуток, що стоїть в знаменнику дробу, через координати векторів і Отримаємо:
Точка лежить в площині , тому . Таким чином, маємо:
Враховуючи, що , отримаємо:
Отже, для того щоб обчислити відстань від точки до площини , потрібно в многочлен замість підставити координати точки , взяти модуль отриманого числа і поділити його на число
Наведемо основні векторні співвідношення і формули, які використовуються для розв'язування стереометричних задач.
Для будь-яких трьох точок Α, Β,C має місце рівність:
(правило трикутника).
Для будь-яких трьох точок Α, Β і О виконується рівність:
.
Для того, щоб точка С лежала на прямій АВ, необхідно і достатньо, щоб існувало таке число k, що
З даної рівності випливає, що
.
Нехай А і В – дві різні точки прямої і точка С – точка даної прямої така, що . Доведемо істинність формули:
де О – довільна точка.
Відмітимо, що , інакше було б, що , або
,
тобто . Але це неможливо, тому що А і В різні точки.
Нехай або Користуючись правилом віднімання векторів, отримаємо:
,
,
Дану формулу називають формулою ділення відрізка в даному відношенні. Якщо С – середина відрізка АВ, то і
.
Чотирикутник ABCD є паралелограмом тоді і тільки тоді, коли виконується одна з наступних рівностей:
, , ,
де O – довільна точка простру.
Якщо вектори і неколінеарні, то для будь-якого вектора , що лежить в одній площині з і , існує єдина пара чисел x і y таких, що .
В просторі для кожного вектора існує єдиний розклад за трьома некомпланарними векторами , , :
(x, y, z – однозначно визначені числа).
Нехай точки А, В, С не лежать на одній прямій; тоді для того щоб точка D лежала в площині АВС, необхідно і достатньо, щоб існувала така пара чисел α і β, що .
При розв’язуванні різних геометричних задач на обчислення довжин відрізків і величин кутів, на доведення геометричних нерівностей ефективно використовувати скалярне множення векторів. Нагадаємо його основні властивості.
З визначення скалярного добутку слідує, що
,
тобто скалярний квадрат вектора рівний квадрату його довжини. Отже, для знаходження довжини відрізка AB може бути використана формула
.
За допомогою скалярного добутку двох векторів можна знаходити довжину відрізка, величину кута, отже, знаходити відстані, площі та інші метричні характеристики геометричних фігур. Для доведення перпендикулярності прямих і площин зручно користуватися ознакою перпендикулярності двох ненульових векторів:
Для знаходження довжини відрізка АВ векторним способом в якості базисних вибирають такі вектори, довжини яких і кути між якими вже відомі. Потім записують розклад вектора за базисними векторами і знаходять:
Якщо в задачі потрібно знайти величину кута , то в якості базисних беруть вектори з відомими відношеннями їх довжин і кутами між ними. Потім вибирають вектори на сторонах цього кута з початком в його вершині і розкладають їх по базису, після чого знаходять cos φ за формулою
Для будь-яких векторів і має місце нерівність
.
Відрізки AB і CD перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли
.
Для будь-яких векторів і має місце формула:
Для успішного використання векторного методу, корисно знати деякі рівності, які часто використовуються для роз’язування задач.
Для будь-яких векторів , , виконується рівність:
.
Для будь-яких трьох точок A, B і C:
,
теорема косинусів.
Для будь-яких чотирьох точок A, B, C, D:
.
Вектори і в лівій частині представимо у вигляді різниці двох векторів, відкладених від точки A. Отримаємо:
.
Доведена рівність є узагальненням рівності 6), яка випливає з неї при співпаданні точок D і A.