§5 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (лнду) Структура общего решения лнду 2-го порядка :

y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x) (5.1) - ЛНДУ

(x) , (x) С (a, b) - непрерывная функция

y’’ + (x) y’ + (x) y = 0 (5.2) - соответствующее однородное уравнение

Теорема (5.1) структура общего решения ЛНДУ

Общее решение y в уравнение (5.1) является сумма его произвольного частного решения и общего решения

=

y = (5.3)

Доказательство:

y = +

y’ = ( ) ‘ + ’

y’’ = ( ) ‘’ + ’’

y’’ = ( ) ‘’ + ’’ + (x) ( )’ ’ + (x) ( + ) = f (x)’

( ) ‘’ + (x) ( )’ + (x) ( ) + + (x) + (x) ) + ( ’’ + (x) ’ + (x) =f(x,y)

y= + (5.4)

Для этого нужно доказать , что из решения (5.4) можно выделить единственную частное решение удовлетворяющее начальным условиям

Дифференцируем (5.4) и подставляем условия (5.5)

y ( ) = y ‘( ) = (5.5)

= W 0

! ,

Метод Лагранжа Вариации произвольных постоянных

Для нахождения общего решения (5.1) необходимо найти частное решение .

Его можно найти из общего решения уравнения (5.2) некоторых вариаций произвольных постоянных

= + (5.6)

= + + +

= + + +

Подставим в (5.1)

+ + + + (x) + +

(x) + = f (x)

+ + + + (x) +

(x) + = f (x)

= W (x) 0

= (x)

= (x)

Интегрированием найдем и

Затем по формуле (5.6) составим общее решение

Теорема (5.2) : о наложение решения

Если правая часть уравнения (5.1) представляет собой сумму 2-ух функций:

f(x) = (x) + (x) ,

а u - частное решение уравнения

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

То функция

Является решение данного уравнения

( ) ‘’ + ) ‘ + ) ‘= ‘’ + + + ( ) ‘’ + ) ‘ + = (x) + (x) = f(x)

Интегрирование лнду 2-го порядка и правой частью специального вида :

Рассмотрим ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами :

y’’ + p y’ + q y = f(x) (5.7)

Можно искать частное решение методом Лагранжа, однако можно найти проще Рассмотрим эти случаи :

1. f(x) =

2. f(x) = ( cos b x + (x) sin b x)

Квазиполином Эйлера

В этих случаях записываем ожидаемую форму решения с неопределенными коэффициентами и подставляем в уравнение (5.1)

Из получения тождества находим значения коэффициентов

Случай 1 : правая часть (5.7) имеет вид :

f(x) = α R

y’’ + p y’ + q y = (5.8)

В этом случае :

= Q n (x) (5.9)

Где n – число = кратности α как корня характеристического уравнения

При этом Q n (x) = x ‘’ + + …. + A ‘’ Ai (i= 0, 1, 2,…)

А) Пусть α – не является корнем характеристического уравнения :

+ p k + q = 0

α r = 0

= Q u (x) *

Б) Пусть α является 2-ух однократным корнем характеристического уравнения :

α = + p k + q = 0

r = 1

= * Q n (x) *

В) Пусть α является 2-ух кратным корнем характеристического уравнения :

α = + p k + q = 0

r = 2

= * Q n (x) *

Случай 2 :

Правая часть (2.7) или вид :

f(x) = ( ) cosβx + Q m (x) sin β (x )

Где ) и Q m (x) многочлен степени n и m соответствуют α и β действительного числа

Уравнение (5.7) тогда запишется в виде

y’’ + p y’ + q y = ( ) cos β x + Q m (x) sin x β ) (5.10)

= * * (Me (x) * cosβx + Ne (x) * sin β x ) (5.11)

r- число равное кратности (α + βi) как корня уравнения :

+ p k + q = 0

Многочлены степени е с неопределенным коэффициентом

Me (x) Ne (x)

е - max (n, m)

Замечание 1 : После подстановки функции из (5.11) в (5.10) приравниваем многочлен перед одноименной тригонометрической функцией в левой и правой частях уравнения

Замечание 2 : Формула (5.11) сохраняется и при ) 0 или + Q m (x) 0

Замечание 3 : Если правая часть уравнения (5.7) есть сумма вида 1 или 2 то для нахождения используется теорема (5.2)