- •Дифференциальные и интегральные уравнения
- •§ 1 Общие понятия
- •§ 2 Дифференциальное уравнение 1-го порядка
- •2.5 Уравнение в полных дифференциалах
- •§ 3 Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Лоду 2-го порядка
- •Теорема существования и единства для ду n-го порядка и систематизации ду
- •§4 Интеграция ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •1 Случай :
- •2 Случай :
- •§5 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (лнду) Структура общего решения лнду 2-го порядка :
- •Метод Лагранжа Вариации произвольных постоянных
- •Интегрирование лнду 2-го порядка и правой частью специального вида :
- •Интегрирование лнду п-го порядка (n постоянным коэффициентом и правой частью специального вида
- •§6 Системы дифференциального уравнения
- •Случай :
- •Случай :
- •§ 7 Понятие об устойчивости оду и систем оду Понятие о фразовом пространстве ду
- •Устойчивость по Ляпунову
- •Простейшие типы точек покоя
- •Случай :
- •Случай :
- •Случай :
- •§8 Уравнения в частных производных Основные понятия
- •Уравнение Лапласа
- •Линейные и Квазилинейные уравнения частных производных
- •§ 9 Интегрирование линейных уравнений при помощи степенных рядов
- •§ 10 Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка в частных произвольных
Теорема существования и единства для ду n-го порядка и систематизации ду
Теорема (3.5)
Существует единственное решения ДУ n-го порядка
= f (x, y, y’, y’’ , …
y ( ) =
y’ ( ) = ’
= ‘’ , … , ( ) =
Если в окрестности начальной точки : ( , , ’, ’’ , )
Функция f – является не прерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяющая условию Липшица по всем аргументам начиная со второго
Теорема (3.6)
Существование и единственности решения системы :
= f I ( x, )
( ) = y I 0 (i= 1, 2, … , n) (3.9)
Предположим , что в области Д , определённое неравенством :
– a x + a i = (1, 2, … , )
– bi + bi
Правые части уравнения (3.9) удовлетворяют условию :
① (x, ) i= (1, 2, … , n) │ │ M
② все формулы (1 … n) удовлетворяет условия Липшица
│ (x, y, │
§4 Интеграция ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами :
y’’ + py’ + ϕ y = 0 (4.1)
Интеграция ДУ 2-го порядка с носителем коэффициента
В частном случае в рассмотренным выше линейно однородном уравнение является ЛОДУ 2-го порядка.
Рассмотрим ЛОДУ 2-го порядка (и 1) где p и q = const
y = (Л. Эйлер)
Подставим y = в уравнение (4.1)
y ‘=k , y ‘’=
+ p ‘k + q = 0 (4.2)
+ pk +q = 0 (4.2 a)
Уравнение (4.2 а) называется Характеристическим для уравнения (4.1)
При решении (4.2 а) возможны 3 случая
1 Случай :
Корни в (4.2 а) действительны и различны
= = линейно не зависимые и образуют фундаментальную систему уравнения (4.1)
В этом случае общие решения записываются в виде :
y=
= const
2 Случай :
Корни действительны, но одинаковы
Дискриминант при этом = 0
В этом случае имеем 1 решение :
=
Покажем , что = =
Покажем , что функция = , будет также решением уравнения (4.1)
’ = + = (k1x + 1)
’’ = ( x + + )
y’’ + py’ + q y = 0 (4.1)
( x + ) + p (k1x + 1) + q * x = 0
x ( x + +q) + + p = 0
Поскольку дискриминант = 0 = - = является решением уравнения (4.1)
Общее решение :
= α + = α -
Д 0
=
=
= cos ϕ + sin ϕ
= ( cos bx + I sin bx)
= ( cos bx - I sin bx)
= = cos px
= = sin px
y = cos bx + sin bx
Пример 1 :
Решение уравнения : ‘ + 25 y = 0
– 6k + 25 = 0
Д = 36 – 100 = -64
= = 3 4 i
Ответ : = * cos 4x + * sin 4x
Таким образом , чтобы решить уравнение (4.1) нужно решить характеристическое уравнение (4.2 а) и выписать решение без интегралов
Интегрирование ЛОДУ п –го порядка с постоянными коэффициентами
Задача нахождения общего решения ЛОДУ п – го порядка
(n 2)
С постоянный коэффициент :
+ + + …. * y = 0
Где R
Решение аналогичного случая уравнения 2 – го порядка
Выписываем характеристическое уравнение
+ + + …. = 0 (4.5)
и находим n-го числа его корней в том числе и комплексных :
Ki = kj
= 0
= 5
В этом случае кратноcть = 3 (кратность корня)
Если кратность = 1 , то Ki называется простым корнем
Cлучай 1:
Все корни (4.5) действительны и различны
Общее решение :
y=
Пример 2 :
Найти общее решение уравнения :
y’’’- y’’’ – 4y’ + 4y = 0
– 4k +4 = 0
= 1
(k-1) – 4 (k-1) = 0
(k-1) ( -4) = 0
(k-1) (k-2) (k+2) = 0
y =
Случай 2:
Все корни действительны , но есть кратные ;
Тогда корню K кратности m соответствует решение y =
Случай 3 :
Среди корней есть комплексные сопряжённые
Тогда каждой паре α простых корней соответствует пара решений :
cos bx sin bx
cos bx ; x sin bx
sin bx , … , sin bx