12. Таблица производных простейших элементарных функций.

Запишем теперь все вычисленные производные простейших элементарных функций в виде таблицы.

1.

2.

В частности

3.

В частности .

4. .

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Из приведённой таблицы производных и правил дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции вытекает следующий важный вывод: производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию, т.е. операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций.

13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.

В силу определения дифференциала функции, пользуясь таблицей производных простейших элементарных функций, получим таблицу дифференциалов простейших элементарных функций.

1.

2.

В частности

3.

В частности .

4. .

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.

Пусть функция положительна и дифференцируема в данной точке . Тогда сложная функция в силу теоремы 2.1 §2 гл. 6 также будет дифференцируемой в точке , причём для производной этой сложной функции по аргументу будет справедлива формула

Выражение (16) принято называть логарифмической производной функции в данной точке .

Логарифмическая производная может быть использована для вычисления производных некоторых функций, не являющихся элементарными.

В качестве примера рассмотрим степенно-показательную функцию вида , где функции и дифференцируемы в данной точке , при этом .

Тогда функция . Согласно теореме 2.1 §2 гл. 6 функция дифференцируема в точке . Тогда дифференцируема и функция в точке , как произведение двух дифференцируемых в точке функций. Итак, функция дифференцируема в точке .

Тогда

C другой стороны

или

Подставляя вместо в равенстве (18) выражение из равенства (17), получим

В частности для функции будем иметь

§5. Производные и дифференциалы высших порядков.

1. Понятие производной -го порядка.

Пусть функция определена и дифференцируема в каждой точке интервала . Тогда её производная сама является функцией, определённой на интервале .

Если функция имеет производную в некоторой точке интервала , то эту производную называют второй производной или производной второго порядка функции в точке и обозначают символом или , или , , .

После введения понятия второй производной, можно последовательно ввести понятие третьей производной, затем четвёртой производной и т.д. Если предположить, что нами уже введено понятие -й производной и что эта -я производная дифференцируема в некоторой точке интервала , т.е. имеет в этой точке производную, то указанную производную называют -й производной (или производной -го порядка) функции в точке и обозначают символом или . Итак по определению , , …, .

Функцию, имеющую на данном множестве конечную производную -го порядка называют раз дифференцируемой на данном множестве. Производные высших порядков находят многочисленные применения в физике. Например, физический смысл второй производной заключается в следующем: если функция определяет закон движения материальной точки по прямой, то первая производная равна мгновенной скорости движущейся точки в момент времени , а вторая производная равна ускорению движущейся точки в момент времени .

2. -е производные некоторых функций.

Вычислим -ю производную степенной функции , где - любое действительное число. .

Отсюда легко усмотреть общий закон:

Вычислим -ю производную функции .

Вычислим -ю производную функции .

Т.е. каждое дифференцирование прибавляет к аргументу функции . Отсюда получается формула

Совершенно аналогично выводится формула