-1-

Глава 1. Матрицы

§1 Понятие матрицы

Основные понятия и обозначения. Пусть . Матрицей размера называется совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из строк и столбцов. При этом сами числа называются элементами матрицы.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в скобки.

Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: – элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции .

В общем виде матрица размера может быть записана следующим образом

Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:

- множество всех матриц размера ;

- матрица с элементами в позиции ;

- матрица размера .

Элементы , где , называются диагональными, а элементы , где – внедиагональными. Совокупность диагональных элементов , где , называется главной диагональю матрицы.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом .

Заметим, что для каждого размера существует своя нулевая матрица.

Матрица размера называется квадратной матрицей n-го порядка. Квадратная матрица называется диагональной, если все её внедиагональные элементы равны нулю. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом или .

Матрица размера называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера называется матрицей столбцом или вектор-столбцом.

--22

Матрицы специального вида. Квадратная матрица называется верхней треугольной, если при , и нижней треугольной, если при . Общий вид треугольных матриц:

.

Заметим, что среди диагональных элементов , , …, могут быть равные нулю элементы. Матрица называется верхней трапециевидной, если выполнены следующие три условия:

1. при ;

2. Существует такое натуральное число , удовлетворяющее неравенствам , что .

3. Если какой-либо диагональный элемент , то все элементы i-й строки и всех последующих строк равны нулю.

Общий вид верхних трапециевидных матриц:

, при .

, при

. , при .

, при .

Отметим, что при , верхняя трапециевидная матрица является треугольной матрицей с отличными от нуля диагональными элементами.

§2. Операции над матрицами

Равенство матриц. Две матрицы и одинакового размера называются равными, если , , .

Если матрицы и равны, то будем писать .

Линейные операции. Суммой двух матриц и размера называется матрица размера , элементы которой определяются равенством

Сумму матриц и будем обозначать .

Матрица называется противоположной к матрице .

Теорема 2.1 Операция сложения матриц обладает следующими свойствами: для любых матриц и нулевой матрицы

1. ; (перестановочность или коммутативность операции сложения

2. ; (ассоциативность или сочетательное свойство)

3. 

4. 

Перечисленные выше свойства непосредственно вытекают из определения и доказываются по единой схеме. Докажем свойство 4.

Разностью матриц и называется матрица . Разность матриц и будем обозначать .

Произведением матрицы на число α называется матрица , элементы которой определены равенством

Произведение матрицы на число будем обозначать .

Теорема 2.2. Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:

1. 

2. 

3. (Распределительное свойство относительно сложения матриц);

4. (Распределительное свойство относительно сложения чисел);

5. .

Все перечисленные свойства непосредственно вытекают из определения. Проверить справедливость указанных свойств поручается читателю.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число позволяют для произвольных матриц одинакового размера и произвольных чисел однозначно определить матрицу , называемую линейной комбинацией матриц с коэффициентами .

Умножение матриц. Произведением матриц и называется матрица , элементы которой определены равенством

Произведение матриц и будем обозначать .

Из определения следует, что произведение определено лишь в том случае, когда число столбцов матрицы совпадает с числом строк матрицы . Это означает, что оба произведения и определены тогда и только тогда, когда матрицы A и B имеют размеры и соответственно. Следовательно равенство возможно лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Однако и в этом случае произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей.

, тогда

.

Следовательно .

Матрицы и называются перестановочными или коммутирующими, если .

Теорема 2.3. Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

1. (Свойство ассоциативности),

2. , для любого действительного числа α,

3. , (Свойство дистрибутивности),

для любых матриц , для которых левые части равенств имеют смысл.

Справедливость свойств 2) и 3) доказываются непосредственно. В качестве иллюстрации приведём доказательство первого равенства свойства 3). Пусть , , . Матрицы и имеют одинаковый размер - . Пусть – элемент матрицы в позиции , - элемент матрицы в позиции , тогда

Из равенств (1) и (2) следует, что , что доказывает первое равенство свойства 3).

Подробное доказательство свойства 1) можно найти в учебнике В. А. Ильин, Г. Д. Ким «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» [1].

Заметим, что ля любой матрицы и единичных матрицы и

A =A, =A.

Транспонирование матриц. Пусть . Матрица называется транспонированной к матрице , если

Транспонированная матрица также обозначается символами и .

Заметим, что при транспонировании матрицы её строки становятся столбцами матрицы , с теми же номерами, а столбцы – строками.

Теорема 2.4. Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами:

1. ,

2. , для любого действительного числа α,

3. ,

4. ,

для любых матриц и , для которых имеют смысл левые части равенств.

Свойства 1), 2), 4) непосредственно вытекают из определения. Приведём доказательство свойства 3). Пусть и , при таком согласовании размеров матриц и произведения и существуют, при этом размеры и совпадают и равны . Пусть - элемент матрицы в позиции , – элемент матрицы , - элемент матрицы в позиции .

что доказывает справедливость свойства 3).