1)Предел последовательности, определение

Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство

числовая последовательность – это функция натурального аргумента: x_n = f(n)

Пример 1. Доказать, что (указать ).

Решение. Неравенство из определения предела последовательности, которое мы должны решить относительно n, принимает вид Пусть . Тогда , откуда , следовательно, в качестве N можно взять . Здесь - целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее . Если, например, , то условиям задачи отвечают натуральные числа , то есть

2)Бесконечно малые и их свойства

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если   или  , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

1. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то  .

2. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

3.  Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

4.  Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

3)Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u(x)  z(x)  v(x), и lim_x a u(x)=lim_x a v(x)=b, то lim_x a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").

 Теорема

  Следствие. 

 

  Теорема

   при 

 

4)Предел функции

Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале [b,c], содержащим точку x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f (a) было обязательно определено.)

Число A называется пределом функции f (x) при   , если для любого   существует такое   , что выполняется

при условии

Данное определение предела известно как   - определение или определение Коши.

Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f (x)имеет предел A в точке x = a, если для каждой последовательности   , сходящейся к точке a, последовательность   сходится к A.

5)Число е ,замечательный предел

Числом e называется предел

Это число иррациональное и приближенно равно е = 2.718281828.... Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются

Данный предел называют вторым замечательным пределом.

Многие примеры сводятся с помощью простых хамен ко второму замечательному пределу.

Рассмотрим несколько примеров решения на второй замечательный предел.

Пример 1 - найти предел используя второй замечательный предел

Найти предел:

Решение.

Преобразуем предел:

Используя свойства пределов , а конкретно, что если функция   непрерывна в точке a, то  , получим:

Замечаем, что можно применить второй замечательный предел и получаем ответ.

Исходный предел равен:   .

6)  

.

при этом предел знаменателя   -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,

8)Непрерывность функции, разрывы

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Е и х₀ – предельная точка множества Е.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если

1. Она определена в точке х0

2. Существует конечный предел

3. Этот предел равен значению функции в точке х0.

Иначе говоря, функция у=f(x) называется непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть

Разрывность функции

Итак, если хотя бы одно из трех условий непрерывности не выполняется, функция называется разрывной в точке х₀, а сама точка x₀-точкой разрыва. Если в точке x₀ оба односторонних предела существуют и конечны, то разрыв называется разрывом первого рода. Пусть х₀-точка разрыва первого рода, т.е.

Возможны два случая

1. f(x₀+0)=f(x₀-0)=L, но либо функция f(x) не определена в точке х₀, либо f(x₀) # L (то есть не выполнено либо первое либо третье условие непрерывности). В этом случае разрыв называется устранимым, так как если доопределить функцию в точке х₀ или переопределить ее, положив f(x₀)=L, функция f(x) станет непрерывной в точке х₀.

оба односторонних предела существуют, конечны и равны.

2. f(x₀- 0)  f(x₀+0) B этом случае разрыв называется неустранимым.

Если же хотя бы один из односторонних пределов f(x₀+0) или f(x₀-0) не существует или бесконечен, то разрыв называется разрывом второго рода. Разрыв второго рода всегда неустранимый.

Если в точке х₀ функции f(x) и g(x) непрерывны, то в этой же точке непрерывными являются и функции

9)Производная ,геом смысл

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Если функция   имеет конечную производную в точке x₀, то в окрестности U(x₀) её можно приблизить линейной функцией

Функция f_l называется касательной к f в точке x₀. Число   является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклонакасательной прямой.

10)Дифференциал

Дифференциал+ (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Обычно дифференциал функции f обозначается df.

Для функций

Дифференциал функции   в точке   может быть определён как линейная функция

где f'(x₀) обозначает производную f в точке x₀.

Таким образом df есть функция двух аргументов  .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция   линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение

11)Таблица производных

Доказательство

y = xⁿ. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:

(a + b)ⁿ = aⁿ+n·a^n-1·b + 1/2∙n(n – 1)a^n-2∙b²+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)a^n-3b³+…+ bⁿ,

можно доказать, что

Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)ⁿ, и, следовательно,

Δy=(x+Δx)ⁿ – xⁿ =n·x^n-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·x^n-2·Δx² +…+Δxⁿ.

Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.

Найдем предел

Производная сложной и обратной функции

Производная сложной функции

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.  Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция   также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!

	Пример 1
Найти производную функции  . Решение. Поскольку  , то по правилу производной сложной функции получаем        Обратная Рассмотрим функцию y = f(x), для которой существует обратная функция x = g(y). Теорема 5. Если обратная функция x = g(y) дифференцируема и g'(y) ≠ 0, то функцияy=f(x) дифференцируема, и  Доказательство Если аргумент x получит приращение Δx, то функция f получит приращение  Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения Δx, Δy связаны следующим образом: Δx=g(y + Δy) − g(y). Тогда получаем 13)Теоремы Теорема 1. Теорема Ро́лля утверждает, что если функция, имеющая производную на интервале, принимает в его концах равные значения, то её производная обращается в нуль в некоторой точке внутри интервала.  (Теорема Ролля) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема в интервале (a, b); на концах отрезка [a, b] принимает равные значения. Тогда существует точка c  (a, b) такая, что f'(c) = 0. Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует точка с  (a, b) такая, что   f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a) . (1)   Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений   Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b]; дифференцируемы в интервале (a, b); x  (a, b) g'(x) ≠ 0 . Тогда существует точка c  (a, b) такая, что     f(b) − f(a) g(b) − g(a)    =   f '(c) g '(c)    . (3)   Формула (3) называется формулой Коши. 14)правило Лопиталя Пусть при  x   a  для  функций  f ( x ) и  g ( x ), дифференцируемых в некоторой окрестности точки  а , выполняются условия: Эта теорема называется  правилом Лопиталя. Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятсялибо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа:  0 / 0  и    /  . 15)Возрастание и убывание функции Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x)  также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.  Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.   Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b ) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения x и y имеют разные знаки. 16)экстремумы функций Слово «экстремум» значит крайний. Точкой экстремума называется такая точка, в которой функция принимает крайние значения: наибольшее или наименьшее. Критической точкой функции называется такая точка ее области определения, в которой производная функции обращается в нуль или не существует. Критические точки функции, в которых она меняет возрастание на убывание или убывание на возрастание, называются точками экстремума. Если в точке экстремума функция меняет убывание на возрастание, то в этой точке достигается наименьшее значение хотя бы на небольшом участке ее области определения. Говорят, что такая точка является точкой локального минимума. Если в точке экстремума функция меняет возрастание на убывание, то в этой точке достигается наибольшее значение хотя бы на небольшом участке ее области определения. Говорят, что такая точка является точкой локального максимума. 17) Асимптота Определение (основное). Прямая называется асимптотой к кривой, если точка этой кривой неограниченно приближается к асимптоте при удалении точки по кривой в бесконечность. Определение. Если для функции   выполняется, что тогда прямая называется вертикальной асимптотой к функции   . Определение. Если существуют конечные пределы: то прямая называется горизонтальной асимптотой к функции   . Определение. Если существуют конечные пределы: и тогда у функции   существует наклонная асимптота 18)первообразные и неопределенные интегралы Неопределенным интегралом  называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равенподынтегральному выражению f(x)dx, т.е.  или  Функцию   называют первообразной функции   . Первообразная функции   определяется с точностью до постоянной величины. Задача нахождения неопределенного интеграла заключается в нахождении такой функции,производная которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю. Например, известно, что   , тогда получается, что   , здесь   - произвольная постоянная. Пусть функция   задана на некотором интервале   . Если найдётся такая функция   , что при всех   имеет место равенство то функция   называется первообразной для функции   .  интегрирования – операции, обратной дифференцированию. 19)таблица интегралов    где Здесь C - произвольная постоянная, т.к. производная от постоянной есть нуль, следовательно, неопределённый определяется с точностью до постоянной.