4.3. Последовательность и её предел.

Опр. 4.3.2. Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа  существует такое натуральное число N (зависящее от ), что для членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство | a_n - a |<.

4.3.2.3. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Док-во. Пусть  . Возьмём =1. N: n> N a-1<a_n < a+1. Итак, все члены последовательности, начиная с N+1, ограничены снизу числом a-1, сверху - числом a+1. Вне окрестности U₁(a) точки a может лежать не более N членов. Возьмём в качестве нижней границы число М₁=min{a₁,a₂,a₃,…,a_N,a-1}, в качестве верхней границы число М₂=max{a₁,a₂,a₃,…,a_N,a+1}. Тогда М₁ a_n М₂, т.е. последовательность действительно ограничена.

4.4.1.1. Определение предела функции в точке.

! Кощи Опр.4.4.1. Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа >0 существует такое число  (положительное и зависящее от ), что если хХ принадлежит также проколотой -окрестности точки а, то значение функции f(x) принадлежит -окрестности числа b.

.

! Гейне Опр.4.4.2. Пусть {x_n | x_nX, x_n a} - последовательность точек области определения функции f(x), сходящаяся к точке а. Если для любой такой последовательности {x_n} последовательность значений функции { f(x_n)} сходится к числу b, то b называется пределом f(x) при xа.

4.4.1.2. Предел функции на бесконечности.

Опр.4.4.3. Пусть область определения Х функции f(x) неограничена. Число b называется пределом функции при х, стремящемся к , если для любого числа >0 существует такое число K, что если хХ удовлетворяет условию | x |> K, то значение функции f(x) принадлежит -окрестности числа b.

.

4.4.2. Односторонние пределы функции.

Опр.4.4.4. Число b называется пределом функции f(x) при ха справа (слева), если для любого числа >0 существует такое число , что если хХ удовлетворяет неравенству a < x<а +, то | f(x)-b |<. (a- < x<а, то | f(x)-b |<.;)

Опр.4.4.6. Число b называется пределом функции f(x) при х+ (х-), если для любого числа >0 существует такое число K, что если хХ удовлетворяет неравенству x>K, то | f(x)-b |<. (x<K, то | f(x)-b |<)

4.4.3. ББ функции.

Опр.4.4.8. Функция f(x) называется ББ при ха, если . .

положительной ББ, если .

отрицательной ББ, если .

4.4.5. БМ функции.

Опр. 4.4.10. Функция f(x) называется БМ при хa, если .

на языке -: (х) - БМ при хa  { : 0<| x-a |<|(х)|<}.

Теор. 4.4.9 (о связи функции с её пределом). Для того, чтобы функция f(x) имела предел, равный b, при хa, необходимо и достаточно, чтобы f(x) представлялась в виде f(x)= b+(х) , где (х) - БМ при при хa.

Док-во. Необходимость. Пусть  . Обозначим (х)= f(x) - b, докажем, что (х) - БМ при при хa. По определению предела 0 : 0<| x-a |<| f(x) - b |=|(х)|<, т.е. (х) удовлетворяет определению БМ.

Достаточность. Для доказательства достаточно прочитать доказательство необходимости в противоположном порядке.

4.4.4. Свойства функций, имеющих предел.

Теор. 4.4.3 (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Если функция имеет предел b при ха, то она ограничена в некоторой окрестности точки а.

Док-во. Возьмём =1. : 0<| x-a |< | f(x)- b |<1 -1< f(x)- b<1 b-1< f(x)< b+1в -окрестности точки а f(x) ограничена сверху и снизу она в этой окрестности ограничена.

Теор. 4.4.4 (о сохранении функцией знака предела). Если функция имеет предел b при ха, и число b>0 (либо b<0), то существует окрестность точки а, в которой f(x)>0 (либо f(x)<0).

Док-во. Рассмотрим для определённости случай b>0. Возьмём = b/2. : 0<| x-a |< | f(x)- b |< b/2 - b/2< f(x)- b< b/2 b- b/2< f(x)< b+ b/2 f(x)> b/2>0, что и требовалось доказать.

Теор. 4.4.5 (о переходе к пределу в неравенстве). Если в некоторой окрестности точки а функции f(x), g(x) удовлетворяют неравенству f(x)g(x) и имеют пределы при ха, то и их пределы удовлетворяют неравенству .

Док-во от противного. Пусть , , и пусть b₁<b₂. Возьмём <( b₂- b₁ )/2. ₂: 0<| x-a |<₂ | f(x)- b₂ |<-< f(x)- b₂<b₂-< f(x)< b₂+ f(x)> b₂-> b₂-( b₂- b₁ )/2=( b₁+ b₂ )/2. Аналогично ₁: 0<| x-a |<₁ | g(x)- b₁ |<- < g(x)- b₁<b₁-< g(x)< b₁+ g(x)< b₁+< b₁+( b₂- b₁ )/2=( b₁+ b₂ )/2. Таким образом, при 0<| x-a |<min{₁,₂}должно быть f(x)> ( b₁+ b₂ )/2, g(x)< ( b₁+ b₂ )/2 что противоречит условию f(x)g(x).

Теор. 4.4.6 (о пределе промежуточной функции). Если в некоторой окрестности точки а функции f(x), g(x), h(x) удовлетворяют неравенству f(x)g(x) h(x), функции f(x), h(x) имеют пределы при ха, и эти пределы равны: , то и функция g (x) имеет предел при ха, и этот предел тоже равен числу b.

Док-во. ₁: 0<| x-a |<₁ | f(x)- b |< -< f(x)- b<b-< f(x)< b+ f(x)> b-. ₂: 0<| x-a |<₂ | h(x)- b₂ |< -< h(x)- b<b-< h(x)< b+ h(x)< b+. Таким образом, при 0<| x-a |<min{₁,₂}= будет b-<f(x)g(x) h(x) < b+| h(x)- b |<, т.е. g(x) имеет предел, равный числу b.

4.4.9. Сравнение БМ (ББ) функций.

Опр. 4.4.9.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то БМ функции (х) и (х) называются бесконечно малыми одного порядка.

Опр. 4.4.9.2. Если =0, то БМ (х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с (х). Обозначение: (х) = о((х)).

Опр. 4.4.9.3. Если =1, то БМ (х) и (х) называются эквивалентными. Обозначение: (х)(х); если (х)(х), то (х)(х).

Теор. 4.4.9.1. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности БМ). Для того, чтобы БМ функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была БМ функцией высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Теор. 4.4.11.2. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности ББ). Для того, чтобы ББ функции F(х) и G(х) были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие F(х) - G(х) = о(F(х)) (или F(х) - G(х) = о(G(х)).

Док-во. Необходимость. (х)(х) =1 0 . Достаточность.   =1.

Теор. 4.4.9.2 о замене БМ на эквивалентные.

Пусть (х) ₁(х), (х)₁(х) - БМ функции. Тогда .