Перечень вопросов к экзамену по математическому анализу за 1-й семестр

1. Множества и действия с ними. Понятия множества и его элемента. Числовые множества. Задание множеств. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера–Венна.

Множество представляет собой определенную совокупность объектов, объединенных в единое целое в соответствии с некоторыми признаками и правилами. Множества обозначаются: A, B, C, X, Y, Z.

Предметы, составляющие множество, называют его элементами. Элементы множеств обозначаются: a, b, c, x, y, z. Элементы множества и само множество связаны между собой отношением «принадлежность»: x Î A – элемент x принадлежит множеству A, x Ï A – элемент x не принадлежит множеству A.

Множество называется конечным, если оно

состоит из конечного числа элементов, и бесконечным – в

противном случае.

Если каждый элемент множества А является вместе с тем и элементом множества В, то А называется подмножеством множества В: А Í В - А содержится в В (или А включено в В) А подмножество В.Если А Í В и А ¹ В, то А называется собственным подмножеством множества В (обозначается А Ì В).

Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является вместе с тем и элементом множества В, и каждый элемент В является элементом А: А = В А Í В и В Í А.Опр.4. Множество Æ, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством. Очевидно, что " А Æ Í А.

Множество, содержащее все элементы рассматриваемых множеств, называют универсальным множеством U.

Мощность (кардинальное число) множества A обозначается как ½A½. Для конечных множеств мощность – это число элементов. Например, ½Æ½ = 0, но í½ýƽ = 1.

Два множества A и B имеют одну и ту же мощность (или равномощны), если существует взаимно однозначное соответствие между этими множествами. Обозначают равномощность в виде ½A½ = ½B½.

Множество A есть бесконечное множество, если оно имеет ту же мощность, что и хотя бы одно из его собственных подмножеств; в противном случае A – конечное множество.

Множества, равномощные множеству натуральных чисел, называют счетными. Множества, равномощные множеству действительных чисел, называют континуальными.

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него - кругов (или каких-либо других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств.

Объединением множеств A и B называется множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств A или B: A È B = íx: xÎA Ú xÎBý.

Пересечением множеств А и В называется множество, каждый элемент которого принадлежит одновременно и множеству А, и множеству В: A Ç B = íx: xÎA & xÎBý.

Д

= U \ A = x: x  U  x  A.

ополнением множества A называется разность универсального множества U и множества А:

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не входящих во множество В: A \ B = íx: x Î A & x Ï Bý.

1. Идемпотентность: A È A = A, A Ç A = A.

2. Коммутативность: A È B = B È A, A Ç B = B Ç A.

3. Ассоциативность: A È (B È C) = (A È B) È C,

A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C.

4. Дистрибутивность: A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C),

A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

5. Поглощение: (A Ç B) È A = A, (A È B) Ç A = A.

6. Свойства нуля: A È Æ = A, A Ç Æ = Æ.

7 . Свойства единицы: A È U = U, A Ç U = A.

8 . Инволютивность:

9. Правила де Моргана:

1 0. Свойства дополнения:

1 1. Выражение для разности:

2. Действительные числа. Определение действительного числа, отношение порядка на множестве действительных чисел и его свойства, точная верхняя (нижняя) грани.

Положительным действительным числом называется последовательность десятичных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 с одной запятой между ними:

п ричем слева от запятой стоит конечное число цифр, отличных от 0.

Отрицательным действительным числом называется последовательность (1) со знаком « – » перед ней:

Н улем называется последовательность, состоящая из одних нулей. Обозначается 0.

Числа вида 12,786999… и 12,787 считаются одинаковыми.

Запись a Î R означает, что a – действительное число.

Модулем действительного числа a называется

само число a, если оно нуль или положительное. Если a

является отрицательным числом (2), то его модулем будет

положительное число (1). Модуль обозначается |a|

О тношение порядка на множестве R. Для двух положительных действительных чисел

у которых до (n+1)-го разряда стоят одинаковые цифры, полагаем a < b тогда и только тогда, когда an+1 < bn+1. Если b – положительное число, а число a – отрицательное или ноль, то всегда a < b. Если a и b – отрицательные числа, то a < b тогда и только тогда, когда |b| < |a|.Запись a < b читается «a меньше b». Эквивалентная запись b > a читается «b больше a».

1. Если a < b, b < c, то a < c.

2. Если a < b, то $ c Î R такое, что a < c < b.

Для модуля:

Множество A Ì R называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число b Î R, что a £ b (b £ a) для всех a Î R. Множество A называется ограниченным, если оно ограничено как сверху, так и снизу.

Теорема 1. Множество A Ì R является ограниченным тогда и только тогда, когда $ b > 0 такое, что " a Î A |a| £ b.

3. Комплексные числа. Определение комплексного числа; действия с комплексными числами; тригонометрическая форма комплексного числа; формула Муавра; корень n-ной степени; решение квадратного уравнения.

Введем на плоскости прямоугольную систему координат XOY. Каждая точка плоскости однозначно определяется своими координатами (x; y). Назовем комплексным числом z пару действительных чисел (x; y) (порядок важен) со следующими операциями:

1 . Сложение. Если z1 = (x1; y1), z2 = (x2; y2), то

2 . Умножение:

Тригонометрическая форма:

Умножение:

Деление:

Формулы Муавра:

Рассмотрим вопрос об извлечении корня n-ой степени из числа

z = r(cosj + i sinj). Это означает, что требуется найти такое комплексное число w = r(cosy + i siny), чтобы

О тсюда получим равенства:

Таким образом, корни задаются следующими формулами:

4. Понятие числовой функции, определение, способы задания, свойства, элементарные функции.

Пусть имеются два множества X и Y. Пусть далее указано правило, по которому каждому элементу сопоставляется некоторый (единственный) элемент.

Т огда говорят, что задано отображение или, по-другому, функция из Х в Y.

f – есть отображение множества X в множество Y.

Для соответствующих элементов x и y используют запись:

x – независимая переменная (аргумент)

y – зависимая переменная

X – область определения (существования) функции

Y – область значений (изменения) функции

Если X и Y – числовые множества, то функция называется числовой

- Числовая функция

Замечание: Каждая прямая x = const либо пересекает график (числ фции – сунисоуду) в единственной точке, либо не пересекает его вовсе.

С пособы задания функций

Аналитический способ:

Табличный:

Графический

Описательный (словесный)

Ц елая часть числа (ближайшее целое число, не превосходящее значение аргумента )

Основные свойства функций

Четность и нечетность:

ч етная

н ечетная

М онотонность:

возрастающая (строго возрастающая)

У бывающая (строго убывающая)

О граниченность:

Периодичность:

С ложная функция (композиция функций) :

О братная функция:

Можно определить обратное отображение:

Э лементарные функции:

С тепенные функции:

П оказательные функции:

Л огарифмические функции:

Тригонометрические (и обратны arc) функции:

5. Числовые последовательности, определение, способы задания, арифметичесие действия над последовательностями.

Бесконечной числовой последовательностью называют функцию, заданную на множестве натуральных чисел N, с областью значений R.

Обычно используют обозначения:

Способы задания последовательностей:

Формула общего члена

Н есколько членов последовательности

Рекуррентная формула:

-Арифметическая прогрессия

- Геометрическая прогрессия

Словесный

Арифметические операции над последовательностями:

сумма (разность) последовательностей

- произведение последовательностей

- умножение на число

- частное последовательностей

6. Предел числовой последовательности, определение, свойства сходящихся последовательностей.

Число А называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого положительного числа e существует такой номер N = N(e) (возможно зависящий от e), что все члены последовательности с номерами, принадлежащими N-окрестности +¥, принадлежат e окрестности точки А.

Ч исло А называется пределом последовательности {xn}, если в любой его e-окрестности находятся все элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера N, зависящего от e.

Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися, в противном случае – расходящимися.