Вопросы к экзамену 3 семестр

1.

N-мерное евклидово пространство. Свойства расстояния. Неравенства Коши-Буняковского, Минковского. N-мерный шар, параллелепипед.  - окрестность, прямоугольная окрестность, окрестность точки. Открытое множество. Ограниченное множество. Непрерывная кривая в Еⁿ. Связное множество. Область.

2.

Сходящаяся последовательность в Еⁿ. Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости последовательности в Еⁿ . Критерий Коши существования конечного предела последовательности. Подпоследовательность. Ограниченная последовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

3.

Изолированная точка множества, точка прикосновения, предельная точка множества. Замыкание множества. Открытое и замкнутое множество. Компакты в Еⁿ.

4.

Определения функции многих переменных и её графика. Предел функции в точке по множеству, предел функции в точке по Гейне и по Коши. Предел функции в точке по кривой. Арифметические свойства пределов. Повторные пределы.

5.

Непрерывность функции многих переменных в точке. Непрерывность функции в точке по множеству, по кривой. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность суперпозиции функций.

6.

Свойства непрерывных функций (теоремы об устойчивости знака, о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение, теоремы Вейерштрасса).

7.

Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

8.

Частная производная функции многих переменных. Дифференцируемость функции в точке (различные формы записи ). Существование частных производных у дифференцируемой функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

9.

Геометрический смысл условия дифференцируемости на примере функции двух переменных.

10.

Дифференциал. Дифференцируемость суперпозиции функций. Частная производная сложной функции. Инвариантность формы 1-го дифференциала. Свойства дифференциалов.

11.

Производная по направлению. Градиент.

12.

Частные производные высших порядков. Теоремы о равенстве смешанных производных (для функций двух переменных с доказательством).

13.

Дифференциалы высших порядков. Отсутствие свойства инвариантности для дифференциалов высших порядков.

14.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, в форме Пеано .

15.

Формула конечных приращений и следствие из неё.

16.

Экстремум функции n переменных. Необходимое условие экстремума в терминах первого дифференциала. Достаточные условия строгого экстремума. Условие, достаточное для отсутствия экстремума в точке.

17.

Определение неявной функции одной переменной. Лемма о существовании неявной функции. Теорема о неявной функции одной переменной.

18.

Неявная функция, определяемая одним уравнением. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции многих переменных . Матрица Якоби, якобиан системы функций. Теорема о системе неявных функций . Вычисление производных неявных функций, определяемых системой уравнений.

19.

Отображение из Еⁿ в Еⁿ. Предел отображения (определение по Гейне и по Коши), непрерывность отображения. Теорема о необходимом и достаточном условии непрерывности отображения в точке (в терминах координатных функций). Лемма о необходимом и достаточном условии непрерывного на открытом множестве отображения (открытость прообраза открытого множества при непрерывном отображении).

20.

Свойства непрерывного отображения (непрерывное отображение компакта, суперпозиция непрерывных отображений, непрерывное отображение связного множества).

21.

Линейное отображение (оператор). Матрица линейного оператора, свойства линейного оператора, норма линейного оператора. Дифференцируемость отображения. Производная отображения. Непрерывность дифференцируемого отображения. Однозначность дифференциала. Дифференциал линейного отображения. Линейность дифференциала.

22.

Дифференциал суперпозиции отображений. Производная суперпозиции отображений. Теорема о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости отображения ( в терминах координатных функций). Дифференцируемое на множестве отображение, непрерывно дифференцируемое отображение.

23.

Теорема об обратном отображении. Теорема об открытости образа открытого множества в случае непрерывно дифференцируемого отображения с неравным нулю якобианом. Принцип сохранения области.

24.

Замена переменных, полярная замена переменных.

25.

Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Задача на отыскание наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на компакте.

26.

Определение равномерного стремления . Критерий Коши. Собственный интеграл, зависящий от параметра. Перестановка предельных переходов. Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра.

27.

Теоремы о дифференцировании под знаком интеграла и интегрировании под знаком интеграла для собственного интеграла

28.

Общий случай собственного интеграла, зависящего от параметра (теоремы о непрерывности и дифференцируемости).

29.

Определение несобственного интеграла, зависящего от параметра. Сходящийся интеграл. Равномерная сходимость на множестве. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса, признак Дирихле-Абеля (без доказательства) равномерной сходимости интеграла.

30.

Теорема о предельном переходе под знаком интеграла, непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.

31.

Теоремы об интегрируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра.

32.

Дифференцирование несобственного интеграла по параметру.

33.

Применение теории интегралов, зависящих от параметра. Вычисление интеграла Дирихле .

34.

Гамма-функция Эйлера.

35.

Бета-функция Эйлера. Связь между Гамма и Бета-функциями.

36.

Ряд Фурье абсолютно интегрируемой функции. Теорема Римана. Стремление к нулю коэффициентов Фурье абсолютно интегрируемой функции.

37.

Ядро Дирихле, представление частичной суммы ряда Фурье в виде интеграла Дирихле. Свойства ядра Дирихле.

38.

Периодическое продолжение функции, заданной на отрезке. Лемма о представлении частичных сумм ряда Фурье для периодической функции. Принцип локализации.

39.

Преобразование Фурье, его связь с рядами Фурье по тригонометрической системе.

40

Ряд Фурье по ортонормированной системе в Гильбертовом пространстве. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

41.

Эквивалентность замкнутости и полноты ортонормированоой системы. Базис.

42.

Ядро Фейера и его свойства. Теорема о суммировании триг. Ряда Фурье методом средних арифметических.

43.

Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении многочленами непрерывной на отрезке функции.