44. Імітаційне моделювання та його роль в оптимізації управління.
Імітаці́йне моделюва́ння — це метод, що дозволяє будувати моделі процесів, що описують, як ці процеси проходили б насправді. Таку модель можна «програти» в часі як для одного випробування, так і заданої їх кількості. При цьому результати визначатимуться випадковим характером процесів. За цими даними можна отримати достатньо стійку статистику.
Імітаційне моделювання — це метод дослідження, заснований на тому, що система, яка вивчається, замінюється імітатором і з ним проводяться експерименти з метою отримання інформації про цю систему. Експериментування з імітатором називають імітацією (імітація — це збагнення суті явища, не вдаючись до експериментів на реальному об'єкті).
Імітаційне моделювання — це окремий випадок математичного моделювання. Існує клас об'єктів, для яких з різних причин не розроблені аналітичні моделі або не розроблені методи розв'язування задач про такі моделі. В цьому випадку математична модель замінюється імітатором або імітаційною моделлю.
Імітаційна модель — логіко-математичний опис об'єкту, який може бути використаний для експериментування на комп'ютері в цілях проектування, аналізу і оцінки функціонування об'єкту.
Імітація як метод розв'язування нетривіальних задач отримала початковий розвиток у зв'язку із створенням ЕОМ в 1950х — 1960х роках.
Можна виділити два різновиди імітації:
метод Монте-Карло (метод статистичних випробувань);
метод імітаційного моделювання (статистичне моделювання).
45. Теорема Планшераля в теорії перетворення Фур'є, її енергетичний зміст.
Торема 1 (Планшереля). Енергія сигналу після перетворення Фур’є зберігається:
47. Перетворення Лапласа, його значення при вивчені диференціальних моделей САУ. Властивості перетворення Лапласа.
Перетворення Лапласа - інтегральне перетворення, що зв'язує функцію комплексного змінного (зображення) з функцією дійсного змінного (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.
Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке розповсюдження в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають простіші співвідношення над їх зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.
Властивості
Абсолютна збіжність
Якщо інтеграл Лапласа є абсолютно збіжним при σ = σ0, тобто існує границя
то він є збіжним абсолютно і рівномірно для σ≥σ0 і F(s) — аналітична функція при σ≥σ0 (σ=Res — дійсна частина комплексної змінної s). Точна нижня грань σa множини чисел σ, при яких ця умова виконується, називається абсцисою абсолютної збіжності перетворення Лапласа для функції f(x).
Достатні умови існування прямого перетворення Лапласа
Перетворення
Лапласа
існує в сенсі абсолютної збіжності в
наступних випадках:
Випадок σ ≥ 0: перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл
Випадок σ > σa: перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл
існує для кожного скінченного x1
> 0 и
для x
> x2
≥
0Випадок σ > 0 або σ > σa (яка із границь більша): перетворення Лапласа існує,якщо існує перетворення Лапласа для функції f'(x) (похідна до f(x)) для σ > σa.
Теорема про згортку
Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів.
Множення зображень
Ліва частина цього виразу називається інтегралом Дюамеля.
Диференціювання і інтегрування оригіналу
Для перетворення Лапласа від похідної функції виконується рівність:
Для похідної n-го порядку:
Перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:
Дифренціювання та інтегрування зображення
Обернене перетворення Лапласа від від похідної функції дорівнює:
Обернене перетворення Лапласа від від похідної функції дорівнює:
Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми
Запізнення зображень:
Запізнення оригіналів:
де u(x) — Функція Хевісайда.