- •1. Застосування теореми про зміну кінетичного моменту для визначення кутової швидкості твердого тіла
- •Малюнок 1
- •Малюнок 2
- •Малюнок 3
- •Малюнок 5
- •2. Застосування теореми про зміну кінетичної енергії для вивчення руху механічної системи
- •Малюнок 6
- •Малюнок 7
- •3. Визначення динамічних реакцій
- •Малюнок 7
Малюнок 3
Але слід зазначити, що кутова кордината т.К коливається від 0 до π і по доягненні верхнього значення починає рухатися в протилежному напрямі. Отже відкладаємо надлишковий кут β= по дузі в напрямі від N до O
Малюнок 5
Відстань FG від точки до осі буде дорівнювати Rcosβ
l=FG=Rcos =1∙0,5=0,5 м
Отже = FG (15)
Підставляючи (15) в формулу (14) отримаємо: ( + )
Підставимо (12) і (13) у :
;
(FG + );
2. Застосування теореми про зміну кінетичної енергії для вивчення руху механічної системи
Механічна система внаслідок дії сили ваги починає рухатися із стану спокою. Початкове положення системи показано на малюнку 6.
Враховуючи тертя ковзання тіла 1 та опір коченню тіла 3, яке котиться без ковзання, нехтуючи масами ниток, які вважаються нерозтяжними, знайти швидкість тіла в той момент, коли пройдений ним шлях буде дорівнювати .
Малюнок 6
Номер варіанту |
Маси тіл |
Радіус кола, см |
Радіус інерції, см |
Кути нахилу поверхонь до горизонту, |
Коефіцієнт тертя ковзання |
Пройдений шлях, м |
||||||||||
|
|
|
|
|
R3 |
r2 |
|
|
|
S |
||||||
12 |
m |
m/2 |
m/5 |
m |
30 |
22,5 |
15 |
20 |
30 |
0,2 |
2,5 |
Таблиця 2
Для знаходження швидкості тіла 1 використаємо теорему про зміну кінетичної енергії:
. (1)
Тут і – кінетична енергія системи в початковому і кінцевому положеннях, – сума робіт зовнішніх сил, прикладених до системи, - сума робіт внутрішніх сил системи.
Для розглядуваної системи, яка складається з абсолютно твердих тіл, з’єднаних нерозтяжними нитками:
.
В початковому положенні система знаходиться у спокої, тоді:
.
Отже рівняння (1) приймає вигляд:
. (2)
Малюнок 7
Кінетична енергія даної системи в кінцевому її положенні дорівнює сумі кінетичних енергій всіх тіл:
. (3)
іКінетична енергія тіла 1, що рухається поступально:
. (4)
Кінетична енергія тіла 2, що обертається навколо нерухомої осі:
. (5)
Момент інерції барабану 2:
,
оскільки відомо, то
. (6)
А оскільки , то формула (6) набуде такого вигляду:
Кінетична енергія барабана 3, що здійснює поступальний і обертальний рух:
. (7)
Де – швидкість центра мас барабана 3, яку ми визначимо за формулою Ейлера, як добуток кутової швидкості на відстань від заданої точки до миттєвого центра обертання
,
Швидкість центра мас V1 1-го тіла C1 дорівнює швидкості точок E,F на краю барабана 2 і швидкості точки D на краю барабана 3 і дорівнює V.
VF = VD з цього випливає, що PD=O2F=R2
VL = VK з цього випливає, що O2K = O3L=r2
C3P = DL- DC3- LP = R2 + r2 - - r2 =
З обертання 2-го тіла:
(8).
За означенням момент інерції диска (9)
Підставляємо (9), (8) у (7): .
Кінетична енергія 4-го тіла визначається за формулою (10)
V4=VC3= (11)
Підставляємо (11) у (10):
Підставляємо (4), (6), (7), (10) у (3)
. (12)
Знайдемо суму робіт зовнішніх сил, прикладених до системи:
. (13)
Робота зовнішніх сил, прикладених до тіла 1 дорівнює сумі робіт сил тяжіння, сили реакції опори та сили тертя. Але для початку треба ці сили знайти. Отже спроектуємо зовнішні сили для 1-го тіла на осі довільної системи координат (X,Y), яку ми задамо, позначивши відповідні осі.
У проєкції на вісь Х: m1W=-FT+m1gcos(90-α)
Y: N1=m1gcosα (14)
За визначенням, робота сили дорівнює добутку сили на переміщення точки прикладення сили. Переміщення = α). Отже A = α)
Сила N1 не впливає на переміщення центра масс першого тіла, отже її робота дорівнює нулю. Сила тертя виконує роботу A(FT) = -FTS (15)
FT = N1f, підставляємо з формули (14) і отримуємо що FT = f m1gcosα. Підставивши це в формулу (15) отримуємо, що A(FT) = -Sf m1gcosα Отже А1 = α) - Sf m1gcosα (16)
Робота зовнішніх сил, прикладених до барабану 2 дорівнює роботі сил тяжіння і реакції опори:
.+N2+N3
Оскільки переміщення центру ваги барабану 2 по вертикалі і по горизонталі дорівнює нулю, то
. (17)
Робота зовнішніх сил, прикладених до катка 3 дорівнює роботі сили тяжіння:
. (18)
Кут повороту катка 3:
.
– вертикальне переміщення катка 3:
h = PC3 (19)
А як ми вже визначили PC3 = R2 – r2, отже формула (19) набуде такого выгляду:
h =
Підставляючи у формулу (18) отримаємо: (20)
A4 = -m4h = (21)
Підставляємо (21), (20), (17), (16) у (13):
. (22)
Згідно з (2) прирівнюємо (12) з (22):
,
звідки