- •Понятие числового поля и матрицы над полем р...
- •Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •Теорема о существовании обратной матрицы.
- •Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
- •Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Метод элементарных преобразований. (Метод Гаусса)
- •Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •Решение совместной системы линейных уравнений.
- •Необходимое и достаточное условие для того,чтобы ослу имела ненулевое решение.
- •Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем.
- •Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Cвойства линейных операций над векторами
- •Теорема о существовании и единственности разности двух векторов.
- •Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •Определение смешанного произведения векторов. Теоремы, выясняющие геометрический смысл смешанного произведения.
- •Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно заданному вектору(в п.Д.С.К.).
- •Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •Расстояние между непараллельными прямыми. Вычисление углов: между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями
- •Квп. Вывод канонического уравнения гиперболы. Асимптоты гиперболы.
- •. Уравнение гиперболы
- •Квп. Вывод канонического уравнения параболы.
- •2. Поворот
- •Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •Г иперболический цилиндр:
- •Основная теорема о пвп(без доказательства).Поверхности вращения.
Решение совместной системы линейных уравнений.
А)Формула Крамера. а) Пусть m=n и |A|≠ 0, значит , т.е. система совместна и определенна.
(1) ← алгебраические дополнения элем. k-того столбца. Предположим что х1…хn не неизвестные а их значения. Т.е. все эти равенства верные. Сложим все строки системы:
Ak получается из матрица A заменой k-того столбца столбцом свободных членов, чужим столбцом. Отсюда получаем: - формулы Крамера.
В) Пусть имеется СЛУ с n неизвестными, причем . Для определенности будем считать что базисный минор матрицы А расположен в левом верхнем углу матрицы А. Этот же минор будет базисным и для расширенной матрицы системы. Каждая строка расширенной матрицы системы не пересекающая базисный минор является линейной комбинацией строк, пересекающих базисный минор поэтому система СЛУ (1) эквивалентна системе:
. Если то неизвестные xr+1…xn называются свободными и слагаемые содержащие свободные неизвестные перенесем в правые части уравнений. Тогда система (2) примет вид: .
Неизвестные x1…xr - главные (базисные) неизвестные. Придавая свободным неизвестным различные значения из системы (3) мы будем каждый раз получать систему r уравнений с r неизвестными имеющие единственные решения . Т.к. определитель этой системы (3) есть базисный минор М≠0 объединяя (4) и (5) мы получаем общее решение системы (1): . Придавая величинам всевозможные значения из поля Р мы получаем все решения системы (1), каждое из которых называется частным в отличие от общего.
СЛУ можно решать матричным методом: АХ=В.
Можно методом Гаусса: его суть в последовательном исключение неизвестных.
Метод Гаусса-Жордано: Представляет собой модификацию метода Гаусса, вместо того чтобы исключить xk только в уравнениях k+1…n исключают xk также и в уравнениях 1…k-1. При решении системы методом Гаусса-Жордано выбирают разрешающее уравнение и разрешающее неизвестное. В качестве разрешающего уравнения можно взять любое уравнение системы. А в качестве разрешающей неизвестной, неизвестное, коэффициенты при котором в выбранном уравнении отличны от 0. Далее делим обе части разрешающего уравнения на коэффициенты при разрешающем неизвестном и исключаем разрешающее неизвестное из всех уравнений системы кроме разрешающего. Преобразования производим до тех пор пока каждое уравнение системы не побывает в качестве разрешающего.
№17---------------------------------------------------------------------------
Необходимое и достаточное условие для того,чтобы ослу имела ненулевое решение.
Определение: СЛУ над полем Р называется однородной если все ее свободные члены равны 0, в противном случае она называется неоднородной.
Теорема: ОСЛУ всегда совместна т.к. имеет по крайней мере нулевое решение. Для того чтобы ОСЛУ имела не нулевое решение необходимо чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных. В частности ОСЛУ с m уравнениями и n неизвестными имеет отличные от 0 решения тогда и только тогда когда .
Утверждение этой теоремы является следствием критерия определенности.
Пусть - какое-нибудь отличное от нуля решение ОСЛУ, это решение можно рассматривать как строку из n чисел. Если С – произвольное число то ясно что строка тоже решение ОСЛУ. Всякая линейная комбинация решений ОСЛУ является решением этой системы.
№18---------------------------------------------------------------------------