- •Понятие числового поля и матрицы над полем р...
- •Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •Теорема о существовании обратной матрицы.
- •Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
- •Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Метод элементарных преобразований. (Метод Гаусса)
- •Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •Решение совместной системы линейных уравнений.
- •Необходимое и достаточное условие для того,чтобы ослу имела ненулевое решение.
- •Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем.
- •Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Cвойства линейных операций над векторами
- •Теорема о существовании и единственности разности двух векторов.
- •Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •Определение смешанного произведения векторов. Теоремы, выясняющие геометрический смысл смешанного произведения.
- •Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно заданному вектору(в п.Д.С.К.).
- •Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •Расстояние между непараллельными прямыми. Вычисление углов: между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями
- •Квп. Вывод канонического уравнения гиперболы. Асимптоты гиперболы.
- •. Уравнение гиперболы
- •Квп. Вывод канонического уравнения параболы.
- •2. Поворот
- •Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •Г иперболический цилиндр:
- •Основная теорема о пвп(без доказательства).Поверхности вращения.
Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
Система двух уравнений первой степени , в которых коэффициенты x,y,z не пропорциональны определяют некоторую прямую EF в пространстве как линию пересечения двух плоскостей. Уравнения (8) называются общими уравнениями прямой в пространстве. Любое решение системы (8) x0,y0,z0 дает нам координаты начальной точки М(x0,y0,z0). Направляющий вектор прямой
Приведем уравнение прямой к каноническому виду . Учитывая написанное выше получим .
№37---------------------------------------------------------------------------
Уравнение прямой проходящей через две точки.
У равнение плоскости(?) проходящей через три точки.
Точка М(x,y,z) принадлежит плоскости тогда и только тогда когда - компланарны, т.е. .
- искомое уравнение плоскости
П ризнак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая задана своими общими уравнениями то в качестве направляющего вектора можно взять . тогда (9) примет вид
или . Отсюда следует что три плоскости пересекаются в одной точки тогда и только тогда когда Т.к. это неравенство означает что прямая линия по которой пересекаются какие-нибудь две из плоскостей не параллельна третьей.
Уравнения в отрезках. Уравнения вида называется уравнением плоскости в отрезках. - уравнение прямой на плоскости в отрезках. Геометрический смысл чисел a,b,c: a,b,c – это величины отрезков отсекаемых плоскостью от осей координат Ox,Oy,Oz соответственно.(точка О – начало отрезков).
№38-39—(39-дописать)-------------------------------------------------
П олупространство, полуплоскость.
Определение: Множество точек М пространства удовлетворяющих условию
называется полупространством определяемым плоскостью П и ее нормальным вектором .
Э то определение равносильно - уравнение полупространства. - нормальный вектор плоскости. . - уравнение другого полупространства т.к. плоскость разбивает пространство на два полупространства. Неравенство (1) в координатной форме: . Уравнение другого полупространства: . Аналогично определяется, что такое плоскость и полуплоскость. И доказывается что - одна полуплоскость, а - другая полуплоскость. Пусть даны две точки М1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2). Если и имеют одинаковые(разные) знаки то точки М1 и М2 находятся по одну(по разные) стороны от плоскости .
Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки М до плоскости есть высота параллелепипеда (см. рисунок). . Ясно что направляющие векторы можно выбрать так чтобы . Тогда
. В координатной форме . Уравнение называется нормированным уравнением плоскости. Расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки координат её точки в левую часть нормированного уравнения плоскости.
У равнение вида где + если D<0 и – если D>0 называется нормальным уравнением плоскости.
№40----------дописать----------------------------------------------------
Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки М до прямой равно высоте параллелограмма. или где М(x0,y0) – некоторая точка прямой, а х,у координаты вектора .
Учитывая что формулу (3) перепишем в виде . Из (3) следует что где нормальный вектор прямой. Уравнение вида называется нормированным уравнением прямой на плоскости. Таким образом, расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки её координат в левую часть её нормированного уравнения прямой.
Нормальное уравнение прямой на плоскости где + если C<0 и – если C>0.
Таким образом нормальное уравнение прямой если сумма квадратов коэффициентов при x,y,z равна 1 и свободный член отрицательный.
№41---------------------------------------------------------------------------