- •Понятие числового поля и матрицы над полем р...
- •Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •Теорема о существовании обратной матрицы.
- •Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
- •Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Метод элементарных преобразований. (Метод Гаусса)
- •Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •Решение совместной системы линейных уравнений.
- •Необходимое и достаточное условие для того,чтобы ослу имела ненулевое решение.
- •Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем.
- •Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •Cвойства линейных операций над векторами
- •Теорема о существовании и единственности разности двух векторов.
- •Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •Определение смешанного произведения векторов. Теоремы, выясняющие геометрический смысл смешанного произведения.
- •Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно заданному вектору(в п.Д.С.К.).
- •Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •Расстояние между непараллельными прямыми. Вычисление углов: между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями
- •Квп. Вывод канонического уравнения гиперболы. Асимптоты гиперболы.
- •. Уравнение гиперболы
- •Квп. Вывод канонического уравнения параболы.
- •2. Поворот
- •Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •Г иперболический цилиндр:
- •Основная теорема о пвп(без доказательства).Поверхности вращения.
Расстояние между непараллельными прямыми. Вычисление углов: между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями
Р асстояние между непараллельными прямыми. Пусть p непараллельна q. В этом случае существуют две такие параллельные плоскости P и Q что прямая p лежит в P а прямая q лежит в Q. Если уравнения прямых и то плоскость Р имеет начальную точку с радиус вектором и направляющими векторами и . А плоскость Q начальную точку с радиус вектором и теми же самыми направляющими векторами, так как Р параллельна Q.
Теорема: Прямые с уравнениями и пересекаются тогда и только тогда когда h=0.
В ычисления углов: а) Угол между двумя прямыми это угол между направляющими векторами этих прямых.
б) Угол между прямой и плоскостью есть по определению угол ψ между прямой d и ее проекцией на плоскости. Получаем два угла ψ и π- ψ(тупой и острый). Каждый из этих углов заключен между 0 и π. В зависимости от выбора направляющего вектора прямой d и нормального вектора плоскости П имеем 4 угла попарно вертикальных. Обозначим через φ угол между любым вектором направляющим и любым нормальным вектором плоскости . Т.к. угол ψ заключен между 0 и π то его sin≥0, Причем
в) За угол между плоскостями принимают угол между любыми нормальными векторами к этим плоскостям. Это опять два угла – острый и тупой, дополняющие друг друга до π.
№42---------------------------------------------------------------------КВП. Вывод канонического уравнения эллипса. Параметрические уравнения эллипса.
Определение: Эллипсом называется множество точек на плоскости сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек постоянна.
М – произвольная точка эллипса. О – середина F1F2. F1F2=2с. Сумма расстояний – 2a.Систему координат выберем таким образом чтобы Ох проходило через F1, F2 , а Оу делило пополам 2с.
F1M+ F2M=2a. - неудобное ур-е эллипса.
Преобразуем: ; 2a>2c, a>c,a2-c2=b2
- ур-е эллипса
Очевидно, что каждая точка эллипса удовлетворяет этому уравнению. Но т.к. в процессе преобразований мы дважды возводили в квадрат обе части, то необходимо проверить не получены ли лишние точки. Иначе говоря нужно проверить что каждая точка уравнения (4) принадлежит эллипсу. Предварительно сделаем несколько замечаний о форме линии, соответствующей уравнению (4). . Из уравнений видно что прямая симметрична относительно начала координат. С возрастанием от 0 до а, убывает от b до 0. Точки кривой лежат в прямоугольнике
Проверим теперь что каждая точка линии определяемая полученным уравнением принадлежит эллипсу. Для этого надо показать что если координаты точки М(х0,у0) удовлетворяют (4) то F1M+ F2M=2a.
Т аким образом лишних точек не появилось.
Числа и - большая и малая полуоси эллипса. F1, F2 – фокусы эллипса.
При получаем - уравнение окружности.
Параметрические уравнения эллипса: Построим две окружности радиусом и с центром в начале координат. Из точки О проведем луч наклоненный к Ох под углом t. Проведем горизонтальную прямую через В и вертикальную через А. Изменяя t от 0 до 2 π точка М опишет эллипс. - парам-е уравнения эллипса. При а=b получим - параметрические уравнения окружности.
№43---------------------------------------------------------------------------