- •§ 1. Испытания и события
- •§ 2. Виды случайных событий
- •§ 3. Классическое определение вероятности
- •§ 4. Основные формулы комбинаторики
- •§ 5. Примеры непосредственного вычисления вероятностей
- •§ 6. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты
- •§ 7. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность
- •§ 8. Геометрические вероятности
- •§ 1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •§ 2. Полная группа событий
- •§ 3. Противоположные события
- •§ 4. Принцип практической невозможности маловероятных событий
- •§ 1. Произведение событий
- •§ 2. Условная вероятность
- •§ 3. Теорема умножения вероятностей
- •§ 4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
- •§ 5. Вероятность появления хотя бы одного события
- •§ 1. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •§ 2. Формула полной вероятности
- •§ 3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •§ 1. Формула Бернулли
- •§ 2. Локальная теорема Лапласа
- •§ 3. Интегральная теорема Лапласа
- •§ 4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •§ 1. Случайная величина
- •§ 2. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •§ 3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •§ 4. Биномиальное распределение
- •§ 5. Распределение Пуассона
- •§ 6. Простейший поток событий
- •§ 7. Геометрическое распределение
- •§ 8. Гипергеометрическое распределение
§ 1. Теорема сложения вероятностей совместных событий
Была рассмотрена теорема сложения для несовместных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий.
Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Пример 1. А — появление четырех очков при бросании игральной кости; В — появление четного числа очков. События А и В — совместные.
Пусть события А и В совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ).
Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: A , B или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий,
P(A+B)=P(A )+P( B)+P(AB). (*)
Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: B или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем
Р (A) = Р (A ) + Р (АВ).
Отсюда
Р( B)=Р(А)—Р(АВ). (**)
Аналогично имеем
P(B)=P( B)+P(AB).
Отсюда
Р( B)=Р(В)—Р(АВ). (***)
Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). (****)
Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.
Для независимых событий
Р (А + B) = Р (А) + Р (В)-Р(А) Р (В);
для зависимых событий
Р (А + B) = Р (А) + Р (В)-Р(А) РA (В);
Замечание 2. Если события А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, Р (АВ)=О. Формула (****) для несовместных событий принимает вид
Р (А + B) = Р (А) + Р (В).
Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (****) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.
Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p1 = 0,7; p2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.
Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание)
Р (АВ)=Р (А) Р (В) = 0,7*0,8 = 0,56.
Искомая вероятность
Р(А+В)=Р(А) + Р(В)—Р(АВ) = 0,7 + 0,8 — 0,56=0,94.
Замечание 3. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой Р==1—q1q2(см. гл.III, §5). В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т. е. вероятности промахов, таковы:
q1=1-p1 =1—0,7 = 0,3; q2=1—р2= 1—0,8 = 0,2.
Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна
P= 1 - q1q2= 1- 0,3 • 0.2 = 0,94.
Как и следовало ожидать, получен тот же результат.