Тема 1: Аксиоматический метод
Математика — это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлеченными понятиями любого вида, и в этой области нет предела ее могуществу.
П.Дирак
Если теорему так и не смогли доказать – она становится аксиомой.
Евклид
1.1 Сущность аксиоматического метода
Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Определить математическое понятие – это значит указать его характерные признаки или свойства, которые выделяют это понятие среди остальных. Обычный способ определения математического понятия заключается в указании: 1) ближнего рода, то есть более общего понятия, к которому относится определяемое понятие; 2) видового отличия, то есть тех характерных признаков или свойств, которые присущи именно этому понятию.
Пример 1. Определение: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Ближайшим родом, то есть более общим понятием является понятие прямоугольника, а видовым отличием является указание, что у квадрата все стороны равны. В свою очередь для прямоугольника более общим понятием является понятие параллелограмма, для параллелограмма — понятие четырехугольника, для четырехугольника — понятие многоугольника и так далее. Но указанная цепочка не является бесконечной.
Существуют понятия, которые нельзя определить через другие, более общие понятия. Их в математике называют основными неопределяемыми понятиями. Примерами основных понятий является точка, прямая, плоскость, расстояние, множество и так далее.
Связи и отношения между основными понятиями формулируются с помощью аксиом.
Аксиома — это математическое предложение, принимаемое в данной теории без доказательств.
К системе аксиом, на которой строится та или иная математическая теория, предъявляются следующие требования: непротиворечивости, независимости, полноты.
Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя одновременно вывести два взаимоисключающих друг друга предложения: А, неА.
Система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.
Система аксиом называется полной, если в ней доказуемо обязательно одно из двух: либо утверждение А, либо неА.
Предложение, которого нет в списке аксиом, должно быть доказано. Такое предложение называется теоремой.
Теорема — это математическое предложение, истинность которого устанавливается в процессе рассуждения, называемого доказательством.
Пример 2.
Аксиома: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, не принадлежащие ей». [Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: 1998.]
Теорема: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм». ». [Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: 1998.]
Одним из основных методов современной математики является аксиоматический метод. Сущность его состоит в следующем:
-
перечисляются основные неопределяемые понятия и отношения строящейся теории (примеры отношений: следовать за..., лежать между...);
-
формулируются аксиомы, принимаемые в данной теории без доказательства, которые выражают связь между основными понятиями и их отношениями;
-
предложения, которых нет среди основных понятий и основных отношений должны быть определены;
-
предложения, которых нет в списке аксиом, должны быть доказаны на основе этих аксиом и ранее доказанных предложений.