Линией (кривой) второго порядка называется множество точек плоскости, декартовы координаты х,у которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0,

где A, B, C, D, E, F - постоянные действительные числа, но по крайней мере одно из чисел A, B или C отлично от нуля.

О К Р У Ж Н О С Т Ь

Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

Если R – радиус окружности, а точка C(a;b) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид

(x – a)² + (y – b)² = R².

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение примет вид

х² +у² = R²

Э Л Л И П С

Эллипс - геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ той же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а и большая, чем расстояние между фокусами 2с.

Выведем уравнение эллипса, исходя из данного определения.

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы эллипса F₁ и F₂. Ось ординат проведем через середину отрезка перпендикулярно F₁ F₂ ему.

Пусть M(x,y) - произвольная точка эллипса. Расстояния от любой точки M(x,y) эллипса до фокусов называются ее фокальными радиусами. r1 =F1M; r2=F2M – фокальные радиусы. Согласно определению эллипса сумма F1M+F2M=2a.

Тогда координаты точек эллипса удовлетворяют уравнению

Уединяя один из радикалов, возводим обе части уравнения в квадрат:

Снова возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные члены:

По определению эллипса , поэтому – положительное число. Обозначим его через , положим , т.е. . После деления на уравнение примет вид:

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Из уравнения видно, что эллипс симметричен относительно осей OX, OY и начала координат, так как вместе с точкой (x,y) ему принадлежат и точки (-x,-y), (-x, y), (x, -y). Эллипс пересекает оси координат в точках А (а;0), С(-а;0) (это точки пересечения с осью OX), В(0;b), D(0;-b) (это точки пересечения о осью OY). Точки пересечения с осями координат называются вершинами эллипса. Отрезок АС называется большой осью эллипса, отрезок BD – малой осью. Длина большой оси равна 2а, длина малой оси равна 2b. Числа а и b называют полуосями эллипса.

Из уравнения следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства: и или и . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми и . В каноническом уравнении эллипса сумма неотрицательных слагаемых и равна 1. При возрастании одного слагаемого, другое будет уменьшаться, т.е. если возрастает, то уменьшается и наоборот. Значит, эллипс имеет форму, изображенную на рисунке (овальная замкнутая кривая).

Точки А,С,В,D – вершины эллипса. АС=2а – большая ось эллипса, BD=2b – малая ось эллипса, АО=а – большая полуось эллипса, ОВ=b – малая полуось эллипса. F1M и F2M – фокальные радиусы.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси. Обозначив эксцентриситет через , получим Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса, так как выражается через отношение его полуосей: . Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить , то эллипс превращается в окружность.

Для произвольной точки М(х,у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

и .

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

и

Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса F, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: .

Из равенства следует, что . Если же , то уравнение определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси Оу, а малая ось 2а – на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся в точках и , где .

Пример 1. Доказать, что уравнение является уравнением эллипса. Найти координаты фокусов и фокальное расстояние.

Разделив обе части уравнения на 6400, получим: . Это уравнение является каноническим уравнением эллипса. Из равенства следует, что и с=6. Фокусы эллипса будут находиться в точках и . Фокальное расстояние

Пример 3. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a² – b² = c² = ½. По условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = Итого: .

Г И П Е Р Б О Л А

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁, F₂, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2а и меньшая, чем расстояние между фокусами 2с.

Выведем уравнение гиперболы, исходя из данного определения.

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы гиперболы F₁ и F₂. Ось ординат проведем через середину отрезка перпендикулярно F₁ F₂ ему.

Пусть M(x,y) - произвольная точка гиперболы. Расстояния от любой точки M(x,y) гиперболы до фокусов называются ее фокальными радиусами.

r₁ =F₁M; r₂=F₂M – фокальные радиусы.

Согласно определению гиперболы . Тогда координаты точек гиперболы удовлетворяют уравнению

, или ,

где знак «плюс» соответствует случаю, когда левая часть уравнения положительна, а знак «минус» соответствует противоположному случаю. Уединяя один из радикалов, возводим обе части уравнения в квадрат:

,

,

По определению гиперболы разность а<с, поэтому разность положительное число. Обозначим с² – а² = b² . После деления на уравнение примет вид:

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Установим форму гиперболы по ее каноническому уравнению.

Из уравнения видно, что гипербола симметрична относительно осей OX, OY и начала координат О(0;0), так как вместе с точкой (x,y) ей принадлежат и точки (-x,-y), (-x, y), (x, -y). Точка О(0;0) называется центром гиперболы.

Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат.

С осью Ох: .

С осью Оу: чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.

Точки называются вершинами гиперболы. Отрезок называется действительной осью гиперболы, а отрезок - действительной полуосью гиперболы.

Отрезок , соединяющий точки и называется мнимой осью гиперболы. Его длина равна 2b. Число b- мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

Из канонического уравнения гиперболы следует, что или . Это означает, что точки гиперболы расположены слева от прямой (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой (левая ветвь гиперболы). Из уравнения гиперболы видно, что когда возрастает, то и возрастает. Значит, гипербола имеет форму, изображенную на рисунке и состоит из двух не связанных между собой частей, называемых ее ветвями.

О(0;0) центр гиперболы; вершины гиперболы; действительная ось гиперболы, мнимая ось гиперболы; - действительная полуось гиперболы, мнимая ось гиперболы; Эксцентриситет гиперболы Асимптоты гиперболы Директрисы гиперболы .

Асимптота: Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой К, если расстояние d от точки М кривой К до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала координат.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

При построении гиперболы целесообразно сначала построить основной прямоугольник гиперболы, провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, - асимптоты гиперболы и отметить вершины гиперболы.

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с² – а² = b²:

, .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны (а=b). Ее каноническое уравнение . Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения и и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов. Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох, Оу являются асимптотами, будет иметь вид

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен

Фокальные радиусы и для точек правой ветви гиперболы имеют вид и , а для левой - и .

Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Кривая, определяемая уравнением , также есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось на оси Ох. Очевидно, что гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

П А Р А Б О Л А

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

Фокус параболы обозначается буквой F, расстояние от фокуса до директрисы – буквой р и называется фокальным параметром параболы.

Выведем уравнение параболы. Для этого расположим систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус F перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой.

В выбранной системе координат фокус F имеет координаты , а директриса имеет уравнение или .

Пусть M(x,y) - произвольная точка параболы. Опустим из точки М перпендикуляр на директрису, и пусть N – основание этого перпендикуляра. Длина отрезка MN равна расстоянию от точки М до директрисы. Расстояние от точки М до фокуса равно длине отрезка MF. Тогда координаты точек параболы удовлетворяют уравнению

.

Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные члены:

Уравнение называется каноническим уравнением параболы.

Из уравнения следует, что парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью симметрии параболы.

Так как р>0, то следовательно и парабола расположена справа от оси Оу.

При х=0 имеем у=0. Значит, парабола проходит через начало координат.

При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно возрастает. Парабола имеет вид, изображенный на рисунке. Точка О(0;0) называется вершиной параболы, отрезок FM называется фокальным радиусом точки М.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат с вершиной, то парабола лежит в левой полуплоскости и ее уравнение имеет вид .
	В случае, когда начало координат находится в вершине, а ось совмещена с осью ординат, парабола будет иметь уравнение , если она лежит в верхней полуплоскости.
В случае, когда начало координат находится в вершине, а ось совмещена с осью ординат, парабола будет иметь уравнение , если она лежит в нижней полуплоскости.