LAB5_C90

Вычисление функции с помощью разложения её в степенной ряд

Задание

1. Cоставить два варианта программы:

• в первом варианте программа (смотри пример) выводит на экран строку с данными о близости значения встроенной функции языка к значению этой же функции, разложенной в степенной ряд. Аргумент x программа вводит с клавиатуры и заканчивает работу при вводе вместо значения x “конец файла” <Ctrl+Z>

• во втором варианте (примера нет) программа выводит в файл таблицу с значениями аргумента x от начального x_o до конечного x_k с шагом Δx, соответствующие им значения функции, вычисленные по стандартной программе, значения суммы ряда, данные о близости этих значений. Границы изменения аргумента x_o, x_k и шаг изменения Δx, а также значение точности вычислений ε ввести с клавиатуры и вывести в файл с результатами перед таблицей в строку.

2. В первом и втором вариантах программа должна делать следующее:

1. вычислять значения функции из задания с помощью встроенной функции языка С;

2. вычислять приближенное значение этой же функции с помощью разложения в степенной ряд и определять число членов ряда, необходимое для получения этого значения с заданной точностью;

3. печатать, с управлением редактирования данных, для каждого значения аргумента:

• значение функции, вычисленное по стандартной программе

• приближенное значение функции

• модуль разности этих двух значений

• число членов ряда, использованных программой для достижения заданной точности.

Вычислить сумму ряда дважды с разными значениями точности и напечатать в отчет две таблицы. Учесть, что при любом порядке суммы компьютер хранит 15 цифр мантиссы, последняя цифра не точна (задать точность суммирования, например, 10^-7 и 10^-17). В отчете сравнить таблицы результатов.

Отчет

Отчет по лабораторной работе должен содержать в указанном порядке:

1. название работы;

2. номер варианта;

3. фамилию, имя, отчество и номер группы студента, выполнившего работу;

4. текст задания;

5. формулу разложения функции в степенной ряд;

6. рекуррентную формулу и вывод коэффициента рекурсии;

7. распечатку текста программы и двух таблиц (пример таблицы смотри ниже) с результатами вычислений с разными значениями точности

8. результаты сравнения таблиц

9. вопросы к заданию с правильными ответами.

x0=1.00 xk=3.00 dx=0.20 eps=1.0e-007

+-----+------------+------------+-----------+-----+

| x | sin(x) | Tailor | |f-sum| | n |

+-----+-------------------------+-----------+-----+

| 1.00| 0.84147098| 0.84147098| 1.6e-010 | 5 |

| 1.20| 0.93203909| 0.93203909| 1.2e-011 | 6 |

| 1.40| 0.98544973| 0.98544973| 1.2e-010 | 6 |

| 1.60| 0.99957360| 0.99957360| 8.7e-010 | 6 |

| 1.80| 0.97384763| 0.97384763| 6.1e-011 | 7 |

| 2.00| 0.90929743| 0.90929743| 3.6e-010 | 7 |

| 2.20| 0.80849640| 0.80849640| 2.6e-011 | 8 |

| 2.40| 0.67546318| 0.67546318| 1.4e-010 | 8 |

| 2.60| 0.51550137| 0.51550137| 6.2e-010 | 8 |

| 2.80| 0.33498815| 0.33498815| 4.7e-011 | 9 |

| 3.00| 0.14112001| 0.14112001| 2.0e-010 | 9 |

+-----+-------------------------+-----------+-----+

Справочная информация

В заданиях используются встроенные функции:

в формуле	в C	в формуле	в C	в формуле	в C
shx	sinh(x)	chx	cosh(x)	lnx	log(x)
arctgx	atan(x)	arcsinx	asin(x)	arccosx	acos(x)
xy	pow( x, y)	│х│	fabs(x)	sin х	sin(x)
ex	exp(x)	cos х	cos(x)	tg х	tan(x)

Комментарии к заданию

• Величину n! называют “n-факториалом” .

• При суммировании степенного ряда возникают следующие задачи:

упростить вычисления и свести их к простейшим операциям,

уменьшить число этих операций и время расчета,

уменьшить погрешность вычислений.

• Для решения этих задач служит рекуррентная формула, позволяющая вычислить величину очередного члена ряда, используя величину предыдущего. Рекуррентная формула имеет вид: a_n+1=a_n T_n

• При суммировании бесконечного ряда Тейлора следует ограничиться конечным значением n. Для сходящегося ряда предел . Поэтому для любого положительного , начиная с некоторого n, станет меньше .

• чтоб избежать зацикливания n ограничивают неким Ng, например, Ng=50. При n>Ng фиксируется аврия. Надо проверить, нет ли ошибки в формуле, алгоритме или программе; только если ошибок нет, можно увеличить Ng.

• Программу следует реализовывать поэтапно:

Этап 1 – только вычисление по рекуррентной формуле при значениях x, вводимых с клавиатуры. Этап 2 – добавить цикл по x, посмотреть на числа будущей таблицы

Этап 3 – добавить форматирование вывода и оформить таблицу

Пример

Рассмотрим вычисление функции sinx. Ряд Тейлора для этой функции имеет следующий вид

Если обозначить слагаемые a₀, a₁, a₂, ..., то формула для вычисления любого члена ряда имеет вид:

, где n = 0, 1, 2, ...

Из формулы общего члена ряда следует, что при n=0 a₀ =x. Теперь каждый следующий член ряда a_n+1 можно вычислить с использованием уже вычисленного a_n с помощью соотношения (рекуррентная формула)

a_n+1 = a_n T_n, где n=0,1,2,…

Сомножитель T_n определяется по формуле

Выполним подстановки

Чтобы сократить факториалы, рассмотрим отдельно числитель и знаменатель. По определению факториала

Окончательно получим

Отметим, что в полученной рекуррентной формуле один из сомножителей, а именно -x², не зависит от n и вычисляется до цикла по n.

Программа

//Вычисление функции с помощью разложения её в степенной ряд

//вариант № группа № студент

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main(void)

{

double Eps = 1.0e-7; // методическая погрешность

double An, Sum, f, x;

int n, Ndop=350; // номер члена ряда и его MAX допустимое значение

printf( "\ax=");

scanf("%lf",&x);

do

{

n = 0; An=x; Sum=An; //стартовые значения n, A0 и суммы ряда

f=sin(x); //эталон по стандартной программе

while( fabs(An) > Eps)

{

An = -An*x*x / ( (2*n+2)*(2*n+3) ); Sum += An; ++n;

if( n > Ndop)

break;

}

printf(" x F(x) Series | F(x) - Row | n \n") ;

printf( "%f %f %f %e %i \n" ,x, f, Sum, fabs(f - Sum), n);

printf( "\ax=");

}

while(scanf("%lf",&x) != EOF);

return 0;

}

Вопросы к заданию

1. Синтаксис оператора do ... while языка C.

2. Синтаксис оператора while языка C.

3. С какой целью в программах на C используют оператор while

4. Чем отличается выполнение while от do ... while

5. С какой целью в программах на C используют оператор break

6. В программе на C записаны следующие операторы int k = 0; while ( k < 3) printf(“k = %i \n”,k); k++; что программа выведет на экран?

7. В программе на C записаны следующие операторы int k = 0; while ( k++ < 3); printf(“k = %i \n”,k); что программа выведет на экран?

8. Как заменить в программе цикл while на цикл for.

9. Перечислите описатели редактирования целых, вещественных и вещественных с удвоенной точностью чисел.

10. Каким образом управляют из программы редактированием при выводе и когда это необходимо? Приведите примеры описателей редактирования.

11. Получены значения f= 0.5984721, S=0.5984728 Как их отредактировать в соответствии с eps= 1.0E-02? Каким будет описатель, и что увидим при печати

12. Что меняется в результатах при изменении eps, покажите на Ваших результатах. Объясните, почему.

Варианты заданий

№	Разложение функции в степенной ряд	Аргумент
1	Примечание
2
3
4
5
6
7
8	Примечание
9	Примечание
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20	Примечание
21
22
23
24	Примечание
25	Примечание
26	Примечание
27