Ответ на вопрос 18
. Односторонние пределы функции в точке. (пределы слева и справа)
Определение.
Пусть функция f(х) имеет стандартную область определения Х, точка хо лежит внутри или является правым (левым) концом одного из промежутков, образующих Х.
Говорят,
что f(х) имеет в точке хо
предел слева
(справа)
равный L и пишут
f(х)=L
(соответственно,
f(х)=L),
если
(Г)1
{хn}
:(К)1
0
>0
х
(х Х, хn<хо (соотв. хn>хо), │x- хо│< ):
f(хn)=L │f(х)- L│<
Так же, как и для обычных пределов (Г)1 и (К)1 эквивалентны.
Односторонние пределы обладают такими же простейшими арифметическими свойствами - свойствами, связанными с неравенствами, что и обычные пределы (во всех случаях в доказательстве надо заменит хn хонеравенствами хn< хо (хn>хо) или х< хо (соответственно х>хо)
Ответ на вопрос 19
Определение.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, и пусть множество Х неограниченно сверху (Х неограниченно снизу).
Говорят,
что число L является пределом функции
f(х) при х
+
(соответственно, при х
)
и пишут
f(х)=L
(соответственно,
f(х)=L),
если
(К)2
0 D>0 х (х Х, х>D):
│f(х)- L│<
f(хn)=L(соотв. х<D): │f(х)- L│<
Ответ на вопрос 20
Определение.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, и пусть множество Х неограниченно сверху (Х неограниченно снизу).
Говорят, что число L является пределом функции f(х) при х + (соответственно, при х ) и пишут f(х)=L (соответственно, f(х)=L), если
(Г)2
{хn}
:│f(х)-
L│<
f(хn)=L(соотв. х<D): │f(х)- L│<
Определения (Г)2 и (К)2 эквивалентны
Ответ на вопрос 21
Арифметические свойства пределов функций.
Теорема 1.
Пусть f1(х) и f2(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и L1= f1(х), L2= f2(х).
Тогда в точке хо имеет предел и функция f1(х)+f2(х) и он равен L1+L2.
Теорема 2.
Пусть f1(х) и f2(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть L1= f1(х), L2= f2(х).
Тогда функция f1(х)·f2(х) имеет в точке хо предел f1(х)·f2(х) и он равен L1·L2.
Теорема 3.
Пусть f1(х) и f2(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть L1= f1(х), L2= f2(х), L2 0.
Тогда
частное двух функций
в точке хо
имеет предел, он равен
.
Доказательство всех трёх теорем проводится с использованием определения предела функции в точке хо в смысле Гейне и арифметических свойств сходящихся последовательностей.
Докажем теорему 2.
Доказательство теоремы 2.
Рассмотрим функцию f1(х)·f2(х) на Х и возьмём произвольную последовательность {хn} типа Гейне ( n: хn Х, n: хn хо, хn= хо) и соответствующую последовательность значений функций f1(хn)·f2(хn).
А
так как по условию теоремы
f1(х)=L1
{хn},
а значит и для нашей {хn}
(
n:
хn
Х,
n:
хn
хо,
хn=
хо):
f1(хn)=L1,
f2(х)=L2 {хn}, а значит и для нашей {хn}: f2(хn)=L2.
А тогда по теореме о произведении двух сходящихся последовательностей:
f1(хn)· f2(хn)= f1(хn)· f2(хn)=L1·L2 так как {хn} была вфбрана произвольно, то f1(х)·f2(х)=L1·L2.
Теорема 4.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х) в точке хо имеет предел L. Тогда он единственен.
Доказательство.
Пусть L=(Г) f(х). Утверждение теоремы непосредственно следует из определения предела функции в точке в смысле Гейне и единственности предела сходящейся последовательности.
Теорема 5.
Пусть
f(х) имеет стандартную область определения
Х, хо
лежит внутри или является концом одного
из промежутков, образующих Х. f(х) в точке
хо
имеет предел L
когда f(х) представима в виде
х
Х:
f(х)=L+
(х),
где
(х)=0.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть f(х)=L. Обозначим f(х)-L = (х) х Х: f(х)=L+ (х).
Докажем, что (х)=0.
Действительно,
f(х)=(К)L
0
>0
х
(
х
Х,
х
хо,│x-
хо│<
):
│
(х)│=│f(х)-L│<
(х)=0.
Достаточность.
Дано: х Х:f(х)=L+ (х), где (х)=0.
Докажем, что f(х)= L.
По условию, х Х: f(х)=L+ (х), то (х)=f(х)-L
и
т.к.
(х)=0
0
>0
х
(
х
Х,
х
хо,│x-
хо│<
):
│
(х)│=│f(х)-L│<
f(х)=
L.
Теорема 6. (об устойчивости знака функции, имеющей в точке предел)
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующихХ, и пусть f(х) имеет предел в точке хо равный L 0.
Тогда
-окрестность
точки хо
такая, что на множестве {(хо-
,
хо)}
{(
хо,хо+
)}
Хфункция
f(х) имеет тот же знак, что и L.
Доказательство.
Пусть
f(х)=
L, L
0.
Возьмём
=
>0.
Тогда
0,
а значит и для
=
>0,
>0
х
(
х
Х,
х
хо,│x-
хо│<
):│f(х)-L│<
=
L
<f(х)<L+
Пусть L>0 │L│=L.
Тогда
х
{(хо-
,
хо)}
{(
хо,хо+
)}
Х:
0<L-
=
<f(х)<L+
0<
<f(х)
f(х)>0.
Пусть L<0. │L│= - L.
х
{(хо-
,
хо)}
{(
хо,
хо+
)}
Х:
L+
<f(х)<L-
L<
f(х)<0
Определение.
Функция f(х) называется ограниченной на множестве Х, если f(х)ограничена на Х и снизу, и сверху.
Теорема 7. (о локальной ограниченности функции, имеющей в точке предел).
Пусть
f(х) имеет стандартную область определения
Х, точка хо лежит
внутри или является концом одного из
промежутков, образующих Х, и пусть f(х)
имеет в точке хо
предел, равный L. Тогда на множестве
(хо
хо+
)
Х
f(х) ограничена.
Доказательство.
f(х)=
L
0,
а значит и для
=1>0
>0
х
(
х
Х,
х
хо,│x-
хо│<
):
│f(х)-L│<
=1
L-1<f(х)<L+1
а) Пусть хо Х.
ПоложимA=min{L-1, f(хo)},
B=max{L+1, f(хo)}.
Тогда х (хо хо+ ) Х: А f(х) В.
б)
хо
Х.
Положим
Тогда
х
(хо
хо+
)
Х:
А
f(х)
В
f(х) ограничена.
Ответ на вопрос 22
Предположим,
что
для всех x близких к a, за исключением,
быть может, самой точки x = a. Тогда, если
то
То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L.
Док-во в лекционном материале Клиндухова от 8 .10.11.
Ответ на вопрос 23
Специальные пределы функций.
Функция
f(
)=
определена
на Х=(
,
0)
(0,
+
),
точка
о=0
является концом одновременно двух
смежных промежутков из Х. так как
рассматриваем
,
то достаточно рассмотреть этот предел
для сужения
нашей функции f(
),
то есть для функции
,
(
,
0)
(0,
).
Рассмотрим каждый интервал отдельно.
>0,
tg
>0.
u
y
Вычислим
площадь треугольника
А0В,
сектора
и △А0D.
А0В
△А0D.
пл. А0В<пл. <пл.△А0D.
Из
элементарной геометрии:
·1·
<
·1·
<
·1·tg
<
<tg
и т.к.
>0,
то 1<
<
<
<1.
=
=1
Тогда
по теореме о предельном переходе в
неравенствах для трёх функций
=1
<
<0
0<(
)<
<
<1.
Согласно
чётности
и нечётности
:
<
<1.
=1
=
=1
согласно теореме §5 получаем
=1.