Федеральное агентство по образованию

Южно-Уральский государственный университет

Приборостроительный факультет

Кафедра ЦРТС

Принял

Пискорский Д. С.

«____»_______ 2011г

ОТЧЁТ

по лабораторной работе №1

«Гармонический анализ и синтез сигналов»

Вариант 3

Выполнили:

студенты группы ПС-369

Солодихин А.

Инкирёв Д.

Ширшков Д.

“____”_________2011г.

Проверил

Пискорский Д. С.

“____”_________2011г.

Челябинск

2011

1.Цель лабораторной работы

Основной целью лабораторной работы является усвоение и углубление знаний, полученных в лекционном курсе РТЦиС о разложении (спектральном анализе) сигналов в ряд Фурье по тригонометрическому базису, о синтезе (восстановлении) сигналов по их спектру.

Ставится также задача освоения интерфейса программы, приобретения навыков работы в подобной лаборатории.

2. Домашняя работа

Вычислим коэффициенты a_n, b_n, амплитуды А_n и фазы _n для нулевой, первой, второй и третей гармоник заданного сигнала формы меандр (Прил. П1.1).

Приложение П1.1

№ варианта (бригады)	Е, В	tи, мс	tз, мс	T	N	nmaкс
Меандр
3	2	0,5	-0,500	1	-	-
Прямоугольный импульс, Q>2
3	2	0,167	-0,425	1	-	10

3. Ход работы

А. Импульсы прямоугольной формы

А.1 Скважность Q=2 (Меандр)

3.1. В режиме спектрального анализа ознакомьтесь с процедурой получения коэффициентов a_n, b_n, амплитуд А_n и фаз _n гармоник при времени задержки t_з = 0. При изменении номера гармоники n (1,15) отметим уменьшение периода синусоид и косинусоид а так же усложнение косинусного и синусного подынтегрального выражения.

3.2. Установим заданное значение t_з = -0,500 мс. Коэффициенты a_n, b_n и фазы _n стали иными, так как сдвинулся меандр, а амплитуды гармоник А_n остались прежними потому что . Сохраним содержание экрана при n=15 (рис 1).

3.2.1. в положении n = 15 переберём t_з  (-0,5; 0,5) мс и понаблюдаем за изменением фазовой спектрограммы (n). Запишем значения ₁₅, а₁₅, b₁₅ для t_з= -0,5; 0,25; 0; 0,25; 0,5 мс. Отразим это в Таблице 1.

Таблица 1

tз, мс	а15	b15	15
-0.5	0.170	0	0
-0.25	0	-0.170	90
0	-0.170	0	-180
0.25	0	0.170	-90
0.5	0.170	0	0

Рисунок 1. Определение коэффициентов ряда Фурье. Прямоугольный сигнал. Q=2.

По таблице 1 можно отметить, что коэффициенты a_n, b_n меняются, а амплитуды будут оставаться прежними, что подтверждает наблюдение из пункта 3.2 . При сдвиге меандра на Т/4 вправо фаза _n сдвигается на П/2 против часовой стрелки.

Коэффициенты a_n, b_n, амплитуды А_n и фазы _n для нулевой, первой, второй и третей гармоник, рассчитанные в домашней работе совпали с рассчитанными программой.

3.2.2. В положении n=1 или n=3 изменим постоянное смещение U₀ в пределах U₀  (-2, 2). Обратим внимание на существенное изменение подынтегральных произведений, но неизменность коэффициентов а_n и b_n, кроме а₀. Это происходит потому что в подынтегральное выражение входит значение амплитуды, и если смещать меандр по вертикали вверх, то положительный коэффициент станет больше, а отрицательный меньше, значит растягивание косинусоиды и синусоиды изменится, но «растягивание» будет линейным и сколько «убыло» на одним колебании, столько же «прибудет» на двух соседних, поэтому площадь (значение интеграла) останется прежней.

3.3. В режиме синтеза сигнала при заданном значении t_з ознакомимся с процедурой синтеза (восстановления) меандра, изменяя n  (1,14). При этом на дисплее будут демонстрироваться и крайние ситуации: для n = 0 и n = 15. Обратим внимание на фазировку гармоник, фаза равна -180 градусов каждые четыре гармоники, начиная с первой. Суммарный сигнал составленный из слагаемых рада Фурье всё больше становится похож на меандр, но колебания всё же присутствуют так как в слагаемых присутствует тригонометрическая функция. Погрешность синтеза снижается при увеличении числа слагаемых в ряде Фурье. Сохраним содержимое экрана для n = 5 (рис 2).

Рисунок 2. Механизм синтеза сигнала. Прямоугольный сигнал. Q=2.

А.2 Скважность Q > 2

3.4. Для заданной скважности Q (t_и=0.167 мс, Т=1мс, Q=5.988) при t_з = 0 выполним пошаговый (n (1,15)) спектральный анализ. Обратим внимание, что спектр имеет лепестковый характер. При n=15 дополнительно рассмотрим следующее:

3.4.1. изменяя скважность Q  (2,15), проследим за формированием лепестков спектра. В одном спектральном лепестке размещается число гармоник равное скважности Q.

3.4.2. установим заданную скважность Q (=5.988), переберём t_з  (-0,5; 0,5) мс. Убедимся в правильности изменения спектрограмм А(n) и (n). Сохраним экран анализа с заданными Q, t_з для n=n_макс(=10) (рис3).

Рисунок 3. Определение коэффициентов ряда Фурье. Прямоугольный сигнал. Q=5.988.

3.5. Выполним синтез сигнала, наблюдая за восстановлением формы импульсов при увеличении числа гармоник n  (1,14). Сохраним экран синтеза с заданным Q, t_з, n = n_maкс (рис 4).

Из рисунка видно, что фазы меняют знак, они могут быть как положительные, так и отрицательные; и разбросаны в пределах от -180 до 180 градусов; и закономерность (чередование) выявить не получилось. Сильно выражен лепестковый характер амплитудного спектра.

Поскольку на каждой гармонике не нулевая фаза, то каждая гармоника вносит «что-то своё» в сумму слагаемых ряда Фурье, следовательно сумма лучше приближена к изначальному сигналу чем при скважности равной 2.

Рисунок 4. Механизм синтеза сигнала. Прямоугольный сигнал. Q=5.988.

Б. Пилообразные импульсы

3.6. Изучим спектральный состав "типового" сигнала пилообразной формы, когда t_u= Т, (t_u = 1 мс, а t_з = 0, U_о = 0, Е = 1 В).

И синусное и косинусное подынтегральные выражения проходят через точку (0,0), причём в этой точке имеют минимальную амплитуду. Лепестков в амплитудном спектре (как у меандра) не наблюдается. Фазовый спектр при Q=1 на каждой гармонике (кроме нулевой) чередует знак с минуса на плюс, модуль при этом остаётся тем же 90 градусов (рис 5).

При укорачивании спектра синусное и косинусное подынтегральное выражение в правой и левой частях зануляются, так как изначальный сигнал там нулевой. Амплитудный спектр начинает приобретать вид лепестков, но не очень ровных, и в них не просматривается чёткая закономерность, как в меандре. Фазовый спектр при увеличении скважности приобретает «серийность», то есть идёт по несколько одинаковых положительных или отрицательных значений.

Рисунок 5. Определение коэффициентов ряда Фурье. Пилообразный сигнал. Q=1.

3.7. В режиме синтеза (опять t_u = 1 мс, t_з = 0) проследим за восстановлением пилообразных импульсов при увеличении n.

При увеличении n снижается амплитуда слагаемого из ряда Фурье, поэтому на десятой гармонике сумма ряда Фурье близка к сигналу, и чем ближе к точке (0,0), тем всё точнее повторяет сигнал. На краях небольшие скачки, но меньше чем у меандра, так как у пилообразного сигнала множитель для синусоиды и косинусоиды постепенно линейно увеличивается, а у меандра он константа.

На чётных и нечётных фазировках слагаемые на концах отрезка колеблются в одной фазе, но в точку (0,0) приходят в противофазе.

Приближение к изначальному сигналу получается хуже, чем у меандра.

Погрешность синтеза _С для n = n_maкс=10 (рис 6) равна:

_С=5.64%

Рисунок 6. Механизм синтеза сигнала. Пилообразный сигнал. Q=1.

В. Колебания треугольной формы

3.8. Рассмотрим"типовой" импульс треугольной формы: t_u = Т, t_з = 0.

У косинусного подынтегрального произведения наблюдается вершина, в точке (0,1), это объясняется вершиной треугольного импульса. Амплитудный спектр уже на шестой гармонике приближается близко к нулю и после этого держится практически на одном уровне. Фазовый спектр на всех гармониках равен нулю (рис 7).

Ряд Фурье для этого сигнала очень быстро сходится, даже не смотря на то, что на чётных гармониках слагаемое равно нулю (рис 8).

При увеличении скважности с права и слева у подынтегральных синусного и косинусного произведений появляются колебания с максимальной амплитудой, но если считать площадь под ними, то они взаимно уничтожатся с противоположными по знаку.

Запишем погрешность синтеза _С для n=15

_С=0.00%

и n = n_maкс =10

_С=0.02%

Рисунок 7. Определение коэффициентов ряда Фурье. Сигнал треугольной формы. Q=1.

Рисунок 8. Механизм синтеза сигнала. Сигнал треугольной формы. Q=1.

Д. Произвольный сигнал

3.9. Изобразим синусоидальный сигнал и сделаем распечатку экрана (рис 9). Здесь перед тем как рисовать сигнал мы выбрали третью гармонику и постарались провести произвольный сигнал по синусоиде. Поэтому амплитудный спектр почти везде равен нулю, и только на третьей гармонике он сильно отличается от нуля и максимален, т.к. в подынтегральном произведении будет синус и S(t) будет тоже являться синусом, следовательно получаем синус в квадрате, поэтому он никогда не будет отрицательным и площадь будет суммироваться, а не взаимоуничтожаться.

Рисунок 9. Определение коэффициентов ряда Фурье. Сигнал произвольной формы.

3.10. Выберем из меню пункт "Произвольный сигнал" и в режиме синтеза, позволяющий сформировать сигнал из 16 гармоник (n  (0,15)) с любыми амплитудами и фазами (А_n=0…1 В, _n = -…+). Выполним два упражнения:

3.10.1. Сложение двух гармоник. Возьмём - 1 и 3-ю гармоники. Амплитуды возьмём равными и максимальными, то есть А_n = 1 В. Фазу третьей гармоники вначале установить нулевой (рис 10), тогда исходный сигнал получается чётным, а затем равной  (рис 11), исходный сигнал тоже получается чётным. При изменении фазы меняется точка, из которой график

Рисунок 10. Произвольный сигнал А₁= А₃ = 1 В, ₁ = ₃ = 0.

Рисунок 11. Произвольный сигнал А₁= А₃ = 1 В, ₁ = 0, ₃ = 180.

исходного колебания начинается, где он пересекает линию t=0 и где он заканчивается.

3.10.2. Сложение двух гармонических колебаний близких частот. Эксперимент проведём на гармониках с номерами n = 11 и 13.

Определите частоту биений и частоту заполнения (рис 12).

Тбиений = 1мс

Тзаполнений = -(-0.0625)+0.0210=0.0835 мс

= 1 кГц

= 11.976 кГц

Рисунок 12. Произвольный сигнал А₁₁= А₁₃ = 1 В.

Теперь предельно сократим частотный интервал между гармониками, то есть возьмите две соседние гармоники 11 и 12 (рис 13).

Тбиений = 1мс

Тзаполнений = -(-0.0650)+0.0220=0.0870 мс

= 1 кГц

= 11.4943 кГц

Рисунок 13. Произвольный сигнал А₁₁= А₁₂ = 1 В.

Период и частота биений не меняются так как сигналза 1 мс не повторяется, а проходит от начала до конца, и только уже за етим временным промежутком начинает повторяться.

Период заполнения увеличился, значит частота уменьшилась.