- •по высшей математике
- •заочной формы обучения
- •Контрольная работа № 9 Ряды
- •Контрольная работа № 10 Задачи с экономическим содержанием
- •ЛИТЕРАТУРА
- •Введение
- •Блок обучающих задач с решениями
- •Блок обучающих задач с решениями
- •БЛОК ОБУЧАЮЩИХ ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ
- •Блок обучающих задач с решениями
- •СОСТАВЛЯЕМ И РЕШАЕМ СИСТЕМУ
- •Блок обучающих задач с решениями
- •Краткие теоретические сведения
- •а эластичностью Ey(z) по переменной y величина
- •ЛИТЕРАТУРА
- •УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Контрольная работа № 6
Неопределенный и определенный интегралы
Литература: [2], гл.10,11; [3], гл. 12; [5], гл. 2, 5; [11], гл.5; [14], гл.4.
Целью выполнения контрольной работы №6 является овладение необходимым набором математических понятий, приемов и методов, перечисленных ниже.
Основные понятия: первообразная; неопределенный интеграл и его свойства; таблица основных неопределенных интегралов; определенный интеграл и его свойства; формула Ньютона-Лейбница.
Основные приемы и методы:
-табличное интегрирование;
-подведение под знак дифференциала;
-интегрирование по частям в неопределенном и определенном интегралах;
-методы приближенного вычисления определенных интегралов;
-вычисление площадей плоских областей, длин плоских кривых и объемов некоторых тел.
Блок обучающих задач с решениями
|
|
Задача 6.1. Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1) ∫ |
|
3 − 2x4 + 3 x2 dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
2) ∫e2−3x dx ; |
|
|
|
3) ∫ |
sin 5x |
|
dx ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos5x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos7 x |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x +10 |
dx ; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
4) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
5) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3sin 2 x |
ctg 4 x |
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
6x2 − 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7) ∫ |
|
|
|
|
7x − x2 − 4 |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
8) ∫ |
xarctgxdx ; |
|
9) ∫x2 ln(x +1)dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x +1)2 (x2 −5x + 6) |
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 − |
2x |
4 |
|
+ |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 3 |
∫x− |
5 dx − |
|
∫x4−5 dx + |
|
∫x 3− |
5 dx = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
75 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
2+1 |
|
|
|
|
|
18+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
||||||||
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x15 |
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
2 |
|
|
5 |
|
|
`1 |
|
|
15 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
2 x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ c = |
|
|
|
|
|
x5 − |
|
|
|
|
|
|
|
x 5 + |
|
|
|
|
|
|
|
x15 |
+ c = |
|||||||||||
7 |
|
2 + |
|
7 |
|
18 |
|
|
|
|
7 |
|
|
4 |
|
|
|
7 |
3 |
7 |
|
23 |
7 |
|
19 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− |
1 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 5 |
|
3 |
|
|
10 |
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
15 |
|
15 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
7 |
|
x |
|
|
− |
161 x |
|
|
|
x |
|
|
+ |
133 x |
x |
|
+ c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) ∫e 2 −3x dx = ∫e 2 −3x |
|
|
1 |
|
|
(−3dx) = − |
1 |
|
∫e 2 |
−3x |
(2 − 3x)′dx = |
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||||
3 |
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
1 |
|
∫e |
2−3x |
d (2 |
−3x) = − |
1 |
|
e |
2−3x |
+ c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3) ∫ |
sin 5x |
|
dx = |
∫(− 15 )(−5sin 5x)dx = −1 |
∫(cos5x)′dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
cos5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
∫cos− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= − |
|
2 5x d(cos 5x) = − |
|
2 cos 2 5x + c = − |
cos 5x + c . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
∫ |
|
|
|
sin 2 x |
|
= − |
∫ctg −4 xd(ctgx) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3sin 2 x ctg 4 x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
1 ctg |
−3 x |
+ c |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9ctg3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3 arccos7 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
2 dx = −∫arccos |
3 |
|
|
x |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arccos x)103 |
+c =−0,3 3 (arccos x)10 +c. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
=−∫arccos3 x d(arccos x) =− |
|
|
|
|
|
103 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6) ∫ |
dx = ∫ |
|
|
|
3xdx |
|
+10∫ |
|
|
|
dx |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6x2 −4 |
|
6x2 − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6x2 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
14 12xdx |
|
|
|
|
|
1 |
d( |
|
6x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= ∫ |
|
+10∫ |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( 6x )2 −22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6x2 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
∫ |
(6x2 −4)′dx + |
10 |
|
1 |
2 |
|
ln10 |
|
|
6 x −2 |
+c = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
6x2 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
1 ln 6x2 −4 + |
2 |
5 |
|
ln |
|
6 x −2 |
+c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7) ∫ |
|
|
|
7x − x2 −4 |
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(x +1)2 (x2 −5x +6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7x − x2 −4 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
7x − x2 −4 |
|
|
|
= |
|
|
|
A |
|
|
+ |
|
B |
|
+ |
|
C |
|
+ |
D |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
(x +1)2 (x2 − |
5x +6) |
|
|
(x +1) |
2 (x −2)(x − |
3) |
|
x + |
1 |
(x +1)2 |
x |
− |
2 |
x − |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения неопределенных коэффициентов А, В, С, D правую часть последнего равенства приводим к общему знаменателю и, приравнивая числители дробей, получаем тождество:
7x − x2 −4 = A(x +1)(x −2)(x −3) + B(x −2)(x −3) +
+C(x +1)2 (x −3) + D(x +1)2 (x −2).
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х :
x3 : |
0 = A +C + D |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 : |
−1 = A −5A + B −C |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x : |
7 = A −5B −5C −3D |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
0 |
: |
−4 = −6A +6B −3C |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
−2D |
|
|
|
|
|
||||||
Решая эту систему, находим A = |
1 |
, |
B = −1, C = − |
2 |
, |
D = |
1 |
. Подставляя |
||||
|
3 |
2 |
||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получаем
|
|
|
|
|
7x − x |
2 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫ |
(x +1) |
2 |
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
1 |
− |
(x +1) |
2 − |
x − |
2 |
+ |
x −3 |
dx = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−5x +6) |
x + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
1 |
ln |
|
x +1 |
|
+ |
|
1 |
|
− |
2 |
ln |
|
x −2 |
|
+ |
|
1 |
ln |
|
x −3 |
|
+c = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
x +1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
x |
|
|
+ ln 6 |
|
x +1 −ln 3 (x − 2)2 +ln x −3 + c = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
6 |
|
x +1 |
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
1 |
|
|
+ln |
|
+c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
+1 |
|
|
|
3 (x −2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8)∫ xarctgxdx .
1 + x2
Для вычисления интеграла используем формулу интегрирования по частям:
∫udv = uv − ∫vdu .
В нашем случае u = arctgx; du = |
|
dx |
; dv = |
xdx |
; v = ∫ |
|
|
dx |
= |
|||
|
+ x2 |
1+ x2 |
|
|
+ x2 |
|||||||
|
|
∫d(1+ x2 ) |
1 |
|
|
1 |
|
|||||
= |
1 |
= 1+ x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
xarctgx dx = |
1 + x2 arctgx − ∫ |
1+ x2 |
|
dx |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|||||
= |
|
|
1+ x2 arctgx −ln x + |
1+ x2 |
+ c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = ln(x +1), |
|
du = |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9) ∫x2 ln(x +1)dx = |
|
|
|
x3+1 |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
dv = x2dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
3 |
ln(x +1) − ∫ |
x3 |
|
|
dx |
|
x3 |
ln(x +1) − |
1 |
|
x3 |
+1−1 |
dx = |
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
3 |
|
|
x +1 |
3 |
|
3 |
|
x +1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
ln(x +1) − |
|
|
∫ x |
|
|
− x |
+1− |
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
3 |
|
1 |
|
x3 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
ln(x +1) − |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ x −ln |
x +1 |
|
+c . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 6.2. Вычислить определенные интегралы:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||
|
|
2x −11 |
dx; |
|
|
∫3 |
xdx |
|
|
x |
dx |
|
|||||||||
1) |
∫ |
|
|
2) |
; 3) |
∫ |
|
; |
|||||||||||||
|
0 |
3 −2x − x2 |
|
|
|
2 |
3 |
(3x −1) 3x −1 |
|
0 |
x2 +1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
π |
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
∫sin |
|
|
|
5) |
∫cos x |
cos3x cos5xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
2x −11 |
|
|
1 |
|
|
2x |
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|||
1) |
|
∫ |
|
|
dx = ∫ |
|
|
dx −11∫ |
|
|
|
|
= |
||||||||
|
|
0 |
3 −2x − x2 |
|
|
0 |
− x2 −2x +3 |
0 |
− x2 −2x +3 |
||||||||||||
|
|
1 |
(−2x −2) + |
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
(−x |
2 |
−2x +3)′dx − |
|||||||
= − |
∫ |
2 dx −11 |
|
= − |
∫ |
|
|
||||||||||||||
|
|
− x2 −2x +3 |
|
|
∫ |
|
−(x +1)2 |
+ 4 |
|
− x2 −2x +3 |
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
dx |
|
1 |
d(−x |
2 |
−2x + |
3) |
|
x +1 |
|
−13 |
= − |
∫ |
|
−13arcsin |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
4 −(x +1)2 |
|
|
|
|
12 |
2 |
|
||
0 |
|
0 (−x2 −2x +3) |
|
10 =
= −2 − x2 −2x +3 10 −13(arcsin1−arcsin 12) = −2(0 − 3) −13(π2 −π6 )=
= 2 3 −133 π .
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x −1 = t; |
|
|
3x −1 = t |
2 , x = |
1 |
(t 2 |
+1), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 23 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103 |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
2) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
23 |
(3x −1) |
3x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
= |
3 tdt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
1 |
|
(t |
2 |
+1) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
t |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= ∫ |
|
3 |
|
|
3 tdt |
= |
∫ |
|
|
|
|
dt = |
|
∫(1+t −2 )dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
1 |
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
(3 − |
1 |
−1+1)= |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
t − |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
t |
|
|
9 |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = tgt; |
|
dx = |
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
tg 3t |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) ∫ |
|
|
|
|
|
x |
|
dx |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
1 cos |
|
t |
|
|
|
|
= ∫4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
tg 2t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
π |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
π |
|
|
|
|
|
tg3t |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
tg 3t |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
sin3 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= ∫4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
dt = ∫4 |
dt = ∫4 |
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
1cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
cos4 t |
|
|
|
|
u = cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
sin 2 t sin t |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
1−cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫4 |
dt = ∫4 − |
d(cost) = |
t |
0 |
|
π |
4 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos4 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos4 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
2 u2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
= |
|
|
|
∫ |
(u−2 −u−4 )du = − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u |
4 |
|
|
|
|
u |
3u |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
|
2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
+1− |
1 |
|
|
|
= − |
2 |
|
+ |
|
2 |
|
= |
|
2 − |
2 |
= |
|
2 − 2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 2 2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
|
π |
1−cos x 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) ∫sin |
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
∫(1− 2cos x + cos |
|
|
|
x)dx |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π 1+ cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
− 2sin x |
0 + ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(π + |
π ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
−2 0 + |
1 |
|
|
(x + |
1 sin 2x) |
|
π |
|
= |
1 |
|
= |
3 π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
cos(x −5x) +cos(x +5x) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
5) |
|
∫cos x cos3x cos5xdx = |
∫ |
cos3x |
|
|
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
|
∫ |
(cos3x cos 4x |
|
+cos3x cos 6x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
|
∫ |
(cos x |
+cos 7x |
+cos3x +cos9x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
sin 7x |
|
sin 3x |
|
|
sin 9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= |
|
|
sin x + |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
7 |
|
|
|
3 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
1 |
|
|
π |
+ |
1 |
|
7π |
|
+ |
1 |
|
|
3π |
+ |
1 |
|
|
|
9π |
= |
1 |
− |
1 |
− |
1 |
+ |
1 |
= |
10 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
4 |
2 |
7 |
|
2 |
|
3 |
|
2 |
9 |
|
|
|
|
7 |
3 |
|
63 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
9 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Задача 6.3. Вычислить приближенное значение определенного интеграла |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
e0,1x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
|
dx |
по |
методу: |
|
|
1) |
|
прямоугольников; |
2) |
|
Симпсона, |
разбивая |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
промежуток интегрирования на 10 равных частей. Все вычисления производить с точностью до трех десятичных знаков после запятой.
b
Решение. Пусть требуется вычислить ∫ f (x)dx . Разобьем отрезок a
[a,b] |
на n |
равных |
частей точками a = x0 < x1 < x2 <... < xn = b . Пусть |
||||||
yi = f (xi ), |
|
|
|
|
|
|
|||
i = 0, n |
. Тогда по формуле левых прямоугольников |
||||||||
b |
f (x)dx ≈ |
b −a |
( y0 + y1 +... + yn−1) . |
||||||
∫ |
|||||||||
|
|
||||||||
a |
|
|
|
|
n |
|
|||
По формуле правых прямоугольников |
|||||||||
b |
f (x)dx ≈ |
b −a |
|
( y1 + y2 +... + yn ) . |
|||||
∫ |
|
||||||||
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
По методу парабол (методу Симпсона) отрезок интегрирования [a,b] разбиваем на четное число частей n = 2m .
|
b |
f (x)dx ≈ |
b −a |
(y |
|
+ y |
|
+ 4( y + y |
|
+... + y |
|
) + |
|
Тогда |
∫ |
0 |
n |
3 |
2m−1 |
||||||||
|
|||||||||||||
|
|
6m |
|
1 |
|
|
|||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ 2( y2 + y4 +... + y2m−2 )). |
|
|
|
|
|
|
Для нашего интеграла n =10, |
a = x0 = 0,5, |
x1 = 0,55; |
x2 = 0,6; |
||||||||||||||||||||||||
x3 = 0,65; |
x4 = 0,7; x5 = 0,75; x6 = 0,8; |
x7 = 0,85; |
x8 = 0,9; |
||||||||||||||||||||||||
x9 = 0,95; |
x10 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
e0,1x |
|
|
|
|||||||||||||||
Составим |
таблицу |
|
значений |
функции |
f (x) = |
для |
значений |
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xi , i = 0,10 |
. Вычисления будем вести с четырьмя знаками после запятой. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
0,1xi |
e0,1xi |
|
|
yi |
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
0,05 |
1,0512 |
|
|
2,1025 |
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,55 |
|
|
|
0,055 |
1,0565 |
|
|
1,9209 |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
0,06 |
1,0618 |
|
|
1,7697 |
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,65 |
|
|
|
0,065 |
1,0671 |
|
|
1,6417 |
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 |
|
|
|
|
0,07 |
1,0725 |
|
|
1,5321 |
|
|
||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,75 |
|
|
|
0,075 |
1,0778 |
|
|
1,4371 |
|
|
|||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
0,08 |
1,0832 |
|
|
1,3541 |
|
|
||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,85 |
|
|
|
0,085 |
1,0887 |
|
|
1,2808 |
|
|
|||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9 |
|
|
|
|
0,09 |
1,0941 |
|
|
1,2157 |
|
|
||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,95 |
|
|
|
0,095 |
1,0996 |
|
|
1,1575 |
|
|
|||||
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0,1 |
1,1051 |
|
|
1,1051 |
|
|
||||||
По формуле левых прямоугольников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
e0,1x |
|
dx ≈ |
1−0,5 |
|
(2,1025 +1,9209 +1,7697 +1,6417 +1,5321+ |
|
|||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
10 |
|
|
|
||||||||||||||||||
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+1,4371+1,3541+1,2808 +1,2157 +1,1575) = 0,7706 ≈ 0,771. |
|||||||||||||||||||||||||||
По формуле правых прямоугольников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
e0,1x |
|
dx ≈ |
1−0,5 |
(1,9209 +1,7697 +1,6417 +1,5321 |
+1,4371 +1,3541 + |
||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
10 |
|
|
||||||||||||||||||
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+1,2808 +1,2157 +1,1575 +1,1051) = 0,72073 ≈ 0,721. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
По методу Симпсона (2m =10, m = 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
0,1x |
|
|
|
1 |
−0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
|
e |
|
|
dx ≈ |
|
(2,1025 +1,1051+ 4 (1,9209 +1,6417 +1,4371+ |
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
6 5 |
|
||||||||||||||||||||||
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+1,2808 +1,1575) + 2 (1,7697 +1,5321+1,3541+1,2157))= 0,7450 . |
|||||||||||||||||||||||||||
Задача 6.4. |
Найти |
|
площадь |
фигуры, |
заключенной |
между |
параболой |
||||||||||||||||||||
x2 = 4 y и кривой y = |
|
|
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения кривых. Для этого
исключим у из системы уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y = |
8 |
(x2 + 4), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
= |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда x2 + 4x2 −32 = 0 |
|
x |
= ±2. Тогда |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
x x3 |
|
2 |
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
S = ∫ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
4arctg |
|
|
− |
|
|
|
|
= 2π − |
|
. |
||
|
|
2 |
+ 4 |
4 |
|
dx = |
12 |
|
|
|
−2 |
3 |
|||||||||||
|
−2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
Задача 6.5. |
Вычислить длину дуги кривой |
x = |
y4 |
− |
ln y |
, заключенной |
|
4 |
2 |
||||||
между точками с ординатами y1 =1 и y2 = 2. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
В этой задаче в качестве независимой переменной удобнее |
взять у, тогда x = x( y) , и формула для вычисления длины дуги принимает вид
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
l = |
1+ |
′ |
|
2 |
dy |
= |
x ( y) = |
2 |
y − 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
(x ( y)) |
|
|
′ |
|
|
|
2 |
|
y |
+ |
1 |
= |
1 |
1 |
|||||||||||
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ (x ( y)) |
|
= (2 |
2 y ) |
2 |
(y + y ) |
|
|||||||||||
2 |
1 |
|
(y + |
|
)dy = |
1 |
y2 |
|
|
2 |
1 |
(3 +ln 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
+ln y |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
y |
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 6.6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
z = |
x2 |
+ |
y2 |
; z =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
Воспользуемся |
формулой |
|
нахождения |
объема |
тела с |
|||||||||||
известными площадями поперечных сечений |
S(z): |
|
|
|
||||||||||||||
|
b |
|
|
|
где S(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = ∫S(z)dz , |
- |
функция, |
|
выражающая |
площадь |
любого |
||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z [a,b]. Так |
|
сечения данного тела плоскостями, перпендикулярными оси Oz , |
||||||||||||||||||
как в нашем случае поверхность |
z = |
|
x2 |
+ |
|
y |
2 |
|
является параболоидом, а его |
|||||||||
4 |
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
поперечные |
сечения |
плоскостями |
|
z = z0 , |
|
где z0 (0;1], |
ограничены |
эллипсами |
x 2 |
+ |
y 2 |
= z0 |
или |
|
x2 |
+ |
y2 |
=1, то |
|
их |
площади |
|
4 |
2 |
|
4z0 |
2z0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S(z0 ) =π a b , |
|
где |
a = |
4z0 , |
|
|
b = |
2z0 , |
т.е. |
|||||
S(z0 ) =π 4z0 2z0 = 2π 2z0 . |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2zdz = 2π |
2 |
1 |
2 . |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
V = ∫2π |
2 |
=π |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольная работа № 8
Дифференциальные уравнения
Литература: [2], гл. XIII; [3], гл. XIII; [5], ч. III, гл. 8; [6], гл. III; [14], гл. 6.
Целью выполнения контрольной работы №8 является овладение необходимыми математическими понятиями, методами и приемами, перечисленными ниже.
Основные понятия: дифференциальное уравнение; общее и частное решения; типы дифференциальных уравнений первого порядка; линейные дифференциальные уравнения высших порядков (однородные и неоднородные); системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Основные методы и приемы:
-нахождение общего (частного) решения следующих типов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными; с однородными функциями; линейных уравнений; уравнений Бернулли;
-нахождение общего (частного) решения линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами;
-нахождение общего (частного) решения линейного неоднородного уравнения второго порядка со специальной правой частью;
-нахождение общего решения системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Блок обучающих задач с решениями
Задача 8.1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка:
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) y − x |
dy |
= x + y |
dy |
|
|
|||||||||
1) xy |
|
|
|
+ x = y (x |
|
|
|
y − y) ; |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− y′; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) (x2 +1) |
|
= xy + x2 y2 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
1) |
xy |
2 |
+ x |
|
|
|
|
|
2 |
y − y) |
x( y |
2 |
+1)dx = y(x |
2 |
−1)dy . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= y (x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Это уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменные, разделим обе части уравнения на ( y2 +1) (x2 −1): |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
dx = |
|
|
|
y |
|
|
dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x2 −1 |
y2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х , а правую часть – по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Интегрируем левую часть уравнения по переменной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменной у: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
y |
|
|
|
|
dy , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
∫ |
|
d(x2 −1) |
|
= |
1 |
|
∫ |
|
d( y2 +1) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
x |
2 −1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
y2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ln |
|
x2 −1 |
|
|
= ln(y2 +1) −ln |
|
c |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ln |
|
c(x2 −1) |
|
|
= ln(y2 +1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y2 +1 = c(x2 −1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Решение получено в виде общего интеграла. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) y − x |
dy |
|
= x + y |
dy |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Перепишем уравнение в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dy |
(x + y) = y − x |
|
|
или |
dy |
= − |
x − y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это однородное уравнение (уравнение с однородными функциями). Решаем его
с помощью замены: |
y(x) = x u(x), где u(x) - новая неизвестная функция. |
|||||
|
′ |
|
|
′ |
||
Находим y (x) = u(x) + x u (x) |
||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
Подставляем выражения для y(x)и y (x) в исходное уравнение: |
||||||
|
′ |
|
x − xu |
|
||
u +u |
x = − x |
+ xu или |
||||
|
u′(x) = −11+−uu −u ;
u′(x) = −u2 +1. u +1
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
∫ |
|
u +1 |
du = −∫ |
dx |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
u2 +1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
∫ |
d(u2 +1) |
+ |
∫ |
|
|
du |
|
= −ln |
|
x |
|
+ln |
|
c |
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
u2 |
+1 |
|
|
|
|
u |
2 +1 |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
ln(u2 |
+1) + arctgu |
= ln |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что u = y |
, получаем |
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
arctg |
y |
= ln |
c |
|
y |
|
2 |
x |
x |
−ln |
|
+1 или |
|||
|
|
|
x |
|
|
||
arctg |
y |
= ln |
|
|
c |
|
|
|
x2 |
. |
|
|
|||
|
x |
|
|
+ y2 |
|
|
Решение получено в виде общего интеграла.
|
|
|
e−x |
|
|||
3) |
y = |
|
|
− y′ |
|||
1− x |
|||||||
|
′ |
|
|
e−x |
|
||
y |
+ y = 1− x |
- линейное уравнение первого порядка. |
|||||
|
методом Бернулли с помощью подстановки y = u(x) v(x) , где
две новые неизвестные функции.
y′ = u′v +uv′.
После подстановки y и y′ в уравнение оно принимает вид:
′ |
′ |
+uv = |
|
e−x |
|
или |
|||
1− x |
|||||||||
u v +uv |
|
||||||||
′ |
|
′ |
+v) = |
|
e−x |
(*). |
|||
|
1− x |
||||||||
u v +u(v |
|
Находим функцию v(x) из условия:
v′+v = 0 .
Решаем его
u(x), v(x) -
dv |
= −v или |
∫ |
dv |
= −∫dx , |
|
dx |
v |
||||
|
|
|
ln v = x +ln c ,
v = ce−x .
Пусть c =1, тогда v = e−x .
Подставляем v(x) в уравнение (*) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
′ |
e |
−x |
|
|
|
|
|
|
|
e−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
=1− x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∫du = ∫ |
|
|
|
dx |
, |
|
|
|
|
|
|
u = −ln |
|
1− x |
|
+ln |
|
c |
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u = |
|
|
|
|
|
c |
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тогда |
|
y = u v = |
|
|
|
|
e−x , |
|
|
|
или |
|
|
|
|
y = |
|
- общее решение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex (x −1) |
||||||||
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4) (x2 +1) |
|
|
= xy + x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dy |
|
= |
|
|
xy |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
это |
уравнение |
Бернулли. Решаем его |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
подстановкой |
|
|
|
y(x) = u(x) v(x). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= u v |
|
+uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xuv |
|
|
|
|
x2u2v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
u v |
+uv |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 +1 |
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xv |
|
|
|
x2u2v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u v |
+u v |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +1 |
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пусть v′− |
|
|
|
|
|
xv |
= 0, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
x2u2v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
u v |
= |
|
|
|
|
|
. |
|
(**) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решаем первое из этих уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dv |
|
= |
|
|
xv |
|
- |
|
|
уравнение с разделяющимися переменными. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∫ |
dv |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln v = 12 ln(x2 +1) + ln c .
Пусть c =1: v = x2 +1. Подставляем v в уравнение (**):
u′ x2 +1 = x2u2 (x2 +1) , x2 +1
du |
|
x2 +1 = x2u 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dx |
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
du |
|
= ∫ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
du |
|
= − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
u |
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислим ∫ |
интегрированием по частям: |
|
|
||||||||||||||
x2 |
+1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
u1 = x, |
|
du1 = dx |
|
|
|
|
|||||
∫ |
x |
|
2dx |
= dv1 |
= xdx , |
v1 = |
1+ x2 |
|
= |
|
|
||||||
|
x |
+1 |
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
= x 1+ x2 − ∫ |
1+ x2 dx = x x2 +1 − ∫ 1+ x2 |
dx = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1+ x2 |
|
|
||
= x x2 +1 − ∫ |
dx |
|
− ∫ |
dx = |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|||
= x x2 +1 −ln x + 1+ x2 − ∫ |
x2 |
dx . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
x2dx |
|
|||
В итоге получили уравнение относительно ∫ |
. |
||||||||||||||||
x2 |
+1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
x2dx = x x2 +1 −ln x + x2 +1 − ∫ |
|
x2dx , |
|
|||||||||||||
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
||||||
2∫ |
x2dx = x x2 +1 −ln x + x2 +1 + 2c , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2dx |
|
= c + |
1 |
|
|
2 |
+1 |
−ln x + |
x |
2 |
+1 |
|
|||||
∫ x2 +1 |
2 |
x x |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
||
|
+ |
1 |
|
|
|
2 |
+1 −ln x + |
x |
2 |
|
|
||||||
u = − c |
2 |
x x |
|
|
+1 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно получаем общее решение уравнения
y = u v = − |
1 |
|
|
x2 +1 |
|
|
. |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||
c + |
|
x x |
|
+1 |
−ln x + |
x |
|
+1 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8.2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
1) |
y |
′′ |
+16 y = (34x +13)e |
−x |
, |
y(0) = −1; |
′ |
|
= 5; |
|||||||
|
|
y (0) |
||||||||||||||
2) |
y |
′′ |
+ 2 y |
′ |
+ 2 y = 2x |
2 |
+8x |
+ 6, |
y(0) |
|
′ |
= 4; |
||||
|
|
|
=1; y (0) |
|||||||||||||
3) |
y |
′′ |
+5y |
′ |
+2y = 52sin 2x , |
|
y(0) |
= −2; |
′ |
|
= −2 . |
|||||
|
|
|
|
y (0) |
Решение. 1) Составляем и решаем характеристическое уравнение:
λ2 +16 = 0 |
λ = 4i, λ |
2 |
= −4i . |
|
1 |
|
Общее решение соответствующего однородного уравнения:
y0 = c1 cos 4x +c2 sin 4x. |
|
|
|
~ |
= ( Ax + B)e |
−x |
. |
Частное решение имеет вид: y |
|
Для нахождения неизвестных коэффициентов А и В вычислим ~y′, ~y′′ и подставим в исходное уравнение:
~ |
′ = Ae |
−x |
−( Ax + B)e |
−x |
= e |
−x |
( A − B − Ax) , |
|||||
y |
|
|
|
|
||||||||
~ |
′′ = −Ae |
−x |
−( A − B − Ax)e |
−x |
= −e |
−x |
(2A − B − Ax) . |
|||||
y |
|
|
|
|
|
−e−x (2A − B − Ax) +16e−x ( Ax + B) = (34x +13)e−x .
Сокращаем на e−x :
− 2A + B + Ax +16 Ax +16B = 34x +13, x(A +16A −34) +(17B −2A −13) = 0
|
17A = 34 |
|
|
A = 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
||
17B = 2A + |
|
B =1 |
|
|
|
|
|||
Тогда |
~ |
|
|
−x |
= (2x |
+1)e |
−x |
. |
|
y = ( Ax + B)e |
|
|
Общее решение исходного уравнения:
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
−x |
. |
|
|
|
|
y = y0 + y = c1 cos 4x +c2 sin 4x +(2x +1)e |
|
|
|
|
||||||||||
Используя начальные условия: y(0) = −1, |
′ |
|
|
= 5, составим систему |
||||||||||
y |
(0) |
|||||||||||||
для нахождения c1 и c2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(0) = c |
c |
2 |
sin 0 + (2 0 +1) e0 = c +1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
||
′ |
|
|
|
|
|
−(2 0 |
+1)e |
= 4c2 |
+ 2 −1; |
|||||
y (0) = −4c1 sin 0 + 4c2 cos 0 + 2e |
|
|
|
|||||||||||
c +1 = −1 |
c |
= −2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4c2 +1 = 5 |
c2 =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя c1, c2 в общее решение, находим частное решение исходного уравнения:
y = −2 cos 4x +sin 4x + (2x +1) e−x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2) y |
′′ |
+ 2 y |
′ |
+ 2 y = 2x |
2 |
+8x + 6 |
, |
|
|
′ |
= 4. |
|
|||||||
|
|
|
y(0) =1; y (0) |
|
|||||||||||||||
Составляем и решаем характеристическое уравнение: |
|
|
|||||||||||||||||
λ2 + 2λ + 2 = 0 |
|
λ = −1+i, λ |
2 |
= −1−i . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Общее решение соответствующего однородного уравнения: |
|
||||||||||||||||||
y |
0 |
= c e−x cos x +c |
e−x sin x . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
~2 |
подбираем |
в соответствии с |
видом правой |
части |
|||||||
Частное решение y |
|||||||||||||||||||
уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
~ |
|
|
|
|
2 |
+ Bx +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
= Ax |
|
|
|
|
|
С находим, подставляя ~y, ~y′ и |
~y′′ в |
|||||||||||
Неизвестные коэффициенты А, В, |
|||||||||||||||||||
исходное уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
~y′ = 2Ax + B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
~y′′ = 2A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставляем в уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2A + 2(2Ax + B) + 2( Ax2 + Bx +C) = 2x2 +8x + 6 , |
|
||||||||||||||||||
x2 (2A − 2) + x(4A + 2B −8) +(2A + 2B + 2C −6) = 0 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2A −2 = 0 |
|
|
|
|
|
A =1 |
|
|
|||||||
|
|
|
2A |
+ 2B −8 = 0 |
|
|
|
B = 4 −2A = 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2A + 2B + 2C −6 = |
C = 3 − A − B = 0 |
|
|
||||||||||||||||
|
~ |
= x |
2 |
+ 2x, а общее решение исходного уравнения принимает вид: |
|||||||||||||||
Тогда y |
|
|
|||||||||||||||||
y = c e |
−x cos x + c |
2 |
e−x sin x + x2 + 2x . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя начальные условия, получаем систему уравнений для
нахождения c1 и c2 :
y(0) =1y′(0) = 4.
y(0) = c e0 cos 0 |
+ c |
2 |
e0 sin 0 + 0 = c |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= −c e0 cos 0 |
+c |
e0 sin 0 + c |
|
e0 sin 0 + c |
|
e0 |
cos 0 + 2 = |
|||||
y′(0) |
2 |
2 |
|||||||||||
= −c |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
+ c |
2 |
+ 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 =1,
c2 −2 + 4 = 3.
Подставляя c1 и c2 в общее решение, получаем частное решение исходного
уравнения:
y = e−x cos x +3e−x sin x + x2 + 2x.
3) |
y |
′′ |
+5y |
′ |
+2y = 52sin 2x , |
|
′ |
= −2 . |
||||
|
|
y(0) = −2; y (0) |
||||||||||
Составляем и решаем характеристическое уравнение |
|
|||||||||||
λ2 +5λ + 6 = 0 |
λ = −3, λ |
2 |
= −2. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Общее решение соответствующего однородного уравнения: |
|
|||||||||||
y |
0 |
= c e−3x +c |
2 |
e−2x . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Частное решение ~y с неопределенными коэффициентами имеет вид:
~y = Asin 2x + B cos2x .
Коэффициенты А, Внаходим, подставляя ~y, ~y′, ~y′′ в исходное уравнение:
y′ = 2Acos2x −2Bsin 2x ,
y′′ = −2 2Asin 2x −2 2B cos 2x .
Подставляем в уравнение:
−4Asin 2x −4B cos 2x +5(2Acos 2x −2Bsin 2x) + +6(Asin 2x + B cos 2x) = 52sin 2x ,
sin 2x(−4A −10B +6A −52) +cos 2x(−4B +10A +6B) = 0 ,
2A −10B = 52 |
|
2A +50A = 52 |
|
|
A =1 |
. |
||
|
2B +10A = 0 |
|
B = −5A |
|
|
|||
|
|
|
|
B = −5 |
|
~ |
= sin 2x |
−5cos2x, общее решение исходного уравнения: |
||||
Тогда y |
||||||
|
~ |
= c1e |
−3x |
+c2e |
−2x |
+sin 2x −5cos 2x . |
y = y0 + y |
|
|
Используя начальные условия |
|
′ |
|
= −2 , составляем систему |
||||
y(0) = −2, y (0) |
||||||||
уравнений для нахождения c1 и c2 : |
|
|
|
|||||
y(0) = c e0 +c |
2 |
e0 +sin 0 −5cos 0 = c |
+c |
2 |
−5, |
|||
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
y′(0) = −3c1e0 −2c2e0 + 2cos 0 +5 2sin 0 |
= −3c1 −2c2 + 2, |
|||||||
|
||||||||
|
c1 +c2 −5 = −2 |
c1 +c2 = 3 |
|
c1 = −2 |
||||
−3c1 −2c2 + 2 = −2; |
3c1 + 2c2 = 4; |
c2 = 5 . |
Подставляя c1 и c2 в общее решение, получаем частное решение исходного
уравнения:
y = −2e−3x +5e−2x +sin 2x −5cos 2x .
Задача 8.3. Представить |
систему |
линейных |
дифференциальных |
||||
уравнений с постоянными коэффициентами в матричной форме: |
|||||||
dx |
= 7x +3y, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||
dy |
|
|
|
|
|||
|
|
= x +5y. |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
dt |
|
|
|
Найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения.
Решение. Обозначим xy = x ,
|
7 |
3 |
|
A = |
|
|
. |
|
1 |
5 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
||
dt |
= |
|
, |
|
dt |
||||
dy |
|
|
||
dt |
|
|
|
Теперь исходную систему можно записать в матричном виде:
dxdt = A x .
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
|
A −λE |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
7 −λ |
3 |
|
= 0 |
(7 −λ)(5 −λ) −3 = 0 |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
5 −λ |
|
|
|
λ2 −12λ +32 = 0 |
|
|||||
λ1 = 4, |
|
λ2 = 8 . |
|
Составляем и решаем для каждого λ1,λ2 однородную систему
(A −λE)x = 0.
Для λ1 = 4: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
3 |
3 x |
0 |
|||||||
( A − 4E) |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
0 |
|
y |
|
|
|
y |
|
|
3x +3y = 0 |
|
|
|
|
x = −y |
|
|
x + y = 0 |
x + y = 0 |
|
|||
|
|
|
|
y R \ {0}. |
||
|
− y |
|
|
−1 |
y |
≠ 0, y R , является собственным |
Вектор |
= y |
, где |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
вектором |
матрицы |
А, |
|
соответствующим собственному значению λ1 = 4. |
||||||||||||||||
Полагая, |
например, |
y =1, |
|
получаем частное решение исходного матричного |
||||||||||||||||
уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
X 1 = |
|
|
e4t = |
|
−e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e |
4t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для λ2 = 8: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
−1 3 |
|
x |
|
|
0 |
||||
(A −8E) |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
−3 |
y |
|
|
0 |
||||
− x +3y = 0 |
x −3y = 0 |
|
x = 3y |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x −3y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y R \ {0}. |
||||||||||
Вектор |
3y |
|
3 |
|
|
где y ≠ 0, |
y R , является собственным вектором |
|||||||||||||
|
= y |
|
, |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
матрицы А, |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
соответствующим собственному значению λ2 = 8. Полагая в нем |
||||||||||||||||||||
y =1, получаем другое частное решение исходного матричного уравнения: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3e |
8t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= |
|
e8t |
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
8t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение матричного уравнения имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−e |
4t |
|
|
3e8t |
|
−c e4t +3c |
2 |
e8t |
|||
X 1 |
= c X 1 +c |
|
X 2 |
= c |
+c |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
e4t |
|
2 |
e8t |
|
c e4t +c |
2 |
e8t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
С учетом обозначения
X= x(t) получаем общее решение исходной системы:
y(t)
x(t) = −c1e4t +3c2e8t ,y(t) = c1e4t +c2e8t .
Задача 8.4. Найти уравнение кривой, проходящей через точку P(1, 2) и
обладающей следующим свойством: площадь треугольника, образованного радиус–вектором любой точки кривой, касательной в этой точке и осью абсцисс, равна 2.
Решение. Пусть точка M (x, y) - произвольная точка искомой кривой. Как видно из рисунка,
S∆OMA = 12 OA MB.
По условию задачи S∆OMA = 2
|
1 |
OA MB = 2 |
||
2 |
||||
|
|
|
||
OA y = 4 . |
(*) |
Выразим ОАчерез координаты х, у точки
М, лежащей на искомой кривой.
OA = OB + BA = x + BA.
Из прямоугольного ∆MBA |
y |
= tg(π −α) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
BA |
|
|
|
dy |
|
|
|
||||
BA = |
|
|
|
|
|
BA = −y ctgα, |
|
где |
tgα = |
в соответствии с |
|||||||||||||
−tgα |
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
геометрическим |
смыслом |
производной. Тогда BA = −y |
dx |
. Подставим |
|||||||||||||||||||
dy |
|||||||||||||||||||||||
выражение ОА в равенство (*) : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
xy − y2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
− y |
|
|
|
y = 4 |
|
= 4 |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dx |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y |
2 |
|
− xy = −4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dx |
|
− |
x |
|
|
= − |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dy |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получили линейное уравнение первого порядка относительно x( y) и dydx .
Решаем его с помощью подстановки x( y) = v( y) u( y).
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
uv |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
u v |
+uv |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+u v |
− |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
u v |
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v′− |
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
v |
|
|
dv |
|
|
dy |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
, |
|
= |
|
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
y |
∫ v |
∫ |
y |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u v = − |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln |
|
v |
|
= ln |
|
y |
|
+ln |
|
c |
|
, v = Cy . |
Возьмем |
C =1 v = y , подставляем |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
найденную функцию v во 2-е уравнение системы, которое решаем затем относительно u.
|
du |
y = − |
4 |
|
|
- уравнение с разделяющимися переменными. |
|||||||||||||||
|
|
y2 |
|||||||||||||||||||
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∫du = −∫ |
4dy |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u = |
2 |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Тогда x = u v = |
|
|
|
+c y = Cy + |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
P(1,2). Поэтому |
||
|
|
Искомая |
кривая |
проходит |
|
через |
точку |
||||||||||||||
1 = C 2 + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
C = 0 . Следовательно, уравнение кривой x = |
|
или |
xy = 2 - гипербола. |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
Контрольная работа № 9
Ряды
Литература: [2], гл. 16, 17; [3], гл. 14; [5], ч. 3, гл. 9 - 10; [12], ч. 3.
Целью выполнения контрольной работы №9 является овладение основными математическими понятиями, приемами и методами, перечисленными ниже.
Основные понятия : числовые и функциональные ряды; сумма ряда; абсолютная и условная сходимость; область сходимости функционального ряда; радиус и интервал сходимости степенного ряда; ряд Тейлора; разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора; ряд Фурье.
Основные приемы и методы :
-необходимый и достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный);
-признак Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов;
-способы вычисления радиуса сходимости степенного ряда;
-использование разложений основных элементарных функций в ряд Тейлора для построения разложения заданной функции в ряд Тейлора;
-отыскание решения дифференциального уравнения в виде степенного
ряда;
-построение ряда Фурье для функции, заданной на отрезке.
Блок обучающих задач с решениями.
Задача 9.1. Исследовать сходимость числового ряда:
∞ |
3n |
|
|
|
∞ ln 5 |
n |
|
|
|
|
|
1) ∑ |
|
|
|
; |
2) ∑ |
n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1(n +1)! |
|
n=1 |
|
|
3n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
||
Решение. |
1) |
Числовой |
ряд ∑ |
|
|
является положительным. |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1(n +1)! |
|
Воспользуемся признаком Даламбера для исследования сходимости этого ряда.
|
an+1 |
|
∞ |
|
Вычислим q = lim |
. Если 0 ≤ q <1, то ряд ∑an сходится, если |
|||
|
||||
n→∞ |
an |
n=1 |
||
q >1, то ряд расходится. Если же |
q =1, то признак Даламбера не дает ответа |
на вопрос о сходимости данного ряда. Нужны дополнительные исследования с помощью других признаков сходимости.
В нашем случае |
an = |
3n |
, поэтому a |
|
= |
3n+1 |
= |
3n+1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
(n +1)! |
n+1 |
((n +1) |
+1)! |
(n |
|
||||||||
|
|
|
|
|
+ 2)! |
Тогда
q = lim |
an+1 |
= lim |
|
3n+1 |
|
|
(n +1)! |
|
= 3 lim |
(n +1)! |
= |
|
an |
|
|
|
3n |
|
|||||||
n→∞ |
n→∞ (n + 2)! |
|
n→∞ (n +1)!(n + 2) |
|
||||||||
= 3 lim |
|
1 |
= 0 <1, |
следовательно, ряд сходится. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
n→∞ n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)Исследуем вопрос о сходимости положительного числового ряда
∑∞ ln 5 n с помощью интегрального признака. n=1 n
an = f (n) = |
ln 5 |
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ln 5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция |
f (x) = |
положительна и не возрастает при x ≥1 . |
|||||||||||
|
x |
||||||||||||
+∞ |
+∞ |
ln 5 |
|
|
+∞ |
|
|
|
|
||||
xdx = |
1 |
1 |
ln2 x |
+∞ |
|
||||||||
∫ f (x)dx = ∫ |
∫ ln xd(ln x) = |
= ∞, |
|||||||||||
1 |
|
1 |
|
x |
|
|
5 |
1 |
10 |
|
1 |
|
|
т.е. интеграл расходится, следовательно, ряд тоже расходится. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
1) сходится; |
2) расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
5 |
n |
xn . |
|||||||
|
Задача 9.2. |
Найти интервал сходимости степенного ряда ∑ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=13n2 + 2 |
|
||||||||||
|
Решение. Интервал сходимости данного ряда имеет вид |
|
|
x |
|
< R , где R – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
радиус сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Вычислим |
радиус |
сходимости |
|
|
по формуле |
R = lim |
|
|
cn |
|
|
, |
где |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cn+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
||||||||||
cn |
= |
|
|
|
|
. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3n2 + 2 |
5n |
|
3(n +1)2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
R = lim |
|
|
|
|
= |
1 |
lim |
3(n +1) |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
3n2 + 2 |
|
5n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3n2 + 2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Итак, интервал сходимости: |
|
|
x |
|
< |
1 |
|
|
|
− |
1 |
|
< x |
< |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
5 |
x = ± |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Исследуем |
поведение ряда |
|
|
в |
|
граничных |
точках |
|
|
интервала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1) x = |
1 |
. Тогда исходный ряд примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ 5n |
|
1 n |
∞ 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. Этот ряд сходится на основании |
|
|
|
n∑=13n2 |
+ 2 |
|||||
n∑=13n2 + 2 |
5 |
|
|
предельного признака сравнения, где в качестве эталонного ряда для сравнения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
взят сходящийся ряд ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n=1n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
x = − |
. Тогда исходный ряд примет вид |
|
|
|
||||||||||||||||
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
5n |
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|
. Ряд знакочередующийся. Он сходится |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n∑=13n2 |
+ 2 |
|||||||||||
n∑=13n2 + 2 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
на основании признака Лейбница. |
Действительно, lim |
|
= 0 и |
||||||||||||||||||
|
+ 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 3n2 |
|
||||
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
для любого n N . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
3n2 + 2 3(n +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, областью сходимости заданного степенного ряда будет его интервал сходимости, дополненный граничными точками x = ±15 .
Ответ: ряд сходится при |
x − |
1 |
; |
1 |
. |
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 sin x3 |
dx с точностью |
||
Задача 9.3. Вычислить определенный интеграл ∫ |
|
|||||||
x |
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и проинтегрировав ее почленно.
Решение. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд.
sin x3 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
x3 |
− |
|
|
(x3 )3 |
+ |
|
|
(x3 )5 |
− |
|
|
(x3 )7 |
+... |
= |
x |
|
3! |
5! |
7! |
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
= x2 − 31! x8 + 51! x14 − 71! x20 +...
Проинтегрируем почленно полученный степенной ряд.
1 sin x3 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
8 |
|
1 |
|
|
14 |
|
|
1 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
|
|
|
dx = ∫ |
x |
|
|
− |
|
|
x |
|
+ |
|
|
|
x |
|
|
− |
|
|
x |
|
+... dx = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
3! |
|
5! |
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x3 |
|
|
1 |
x9 + |
|
1 |
|
|
x15 − |
|
|
1 |
|
x21 + |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
= |
|
|
− |
|
+ |
|
− |
|
|
+... |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3! 9 |
|
|
|
5! 15 |
|
|
|
|
7! 21 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
3! 9 |
|
5! 15 |
|
7! 21 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот ряд является знакочередующимся и он сходится. Поэтому справедлива следующая оценка остатка ряда: Rn ≤ an+1 .
Воспользуемся этим неравенством для определения числа слагаемых, достаточного для достижения заданной точности вычислений ε = 0,001.
Так как 5!115 = 18001 < 0,001, то взяв первые два члена ряда, получим
1 sin x3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
dx ≈ |
|
|
− |
|
|
≈ 0,314. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
3 |
3! 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
1 sin x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dx ≈ 0,314 с точностью до 0,001. |
|
||||||||||||||||||||
Ответ: |
∫ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 9.4. |
Найти три первых |
|
отличных от нуля члена |
разложения в |
|||||||||||||||||||
степенной ряд решения |
|
y = y(x) дифференциального уравнения |
y′ = f (x, y), |
||||||||||||||||||||
удовлетворяющего начальному условию y(0) = y0 : |
|
||||||||||||||||||||||
y′ = y2 + x3 , |
|
y(0) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. |
|
Так как |
x0 = 0 , |
то решение данного уравнения будем искать |
|||||||||||||||||||
в виде ряда по степеням х: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′′ |
|
2 |
|
y |
′′′ |
|
3 |
|
|
|
y(x) = y(0) + |
|
y (0) |
|
x + |
y (0) |
x |
+ |
(0) |
x |
+.... |
|
||||||||||||
1! |
|
|
2! |
|
|
3! |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Первый |
коэффициент |
этого |
ряда |
|
определяется начальным условием |
||||||||||||||||||
y(0) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй коэффициент разложения получим из дифференциального |
|||||||||||||||||||||||
уравнения при x = 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
′ |
|
2 |
(0) |
+ 0 |
3 |
|
|
2 |
+ 0 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y (0) = y |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти y′′(0) продифференцируем исходное уравнение: y′′ = 2 yy′+3x2 .
Тогда при x = 0 получим
y′′(0) = 2 y(0) y′(0) +3 02 = 2 1 1 = 2.
Подставляя полученные значения в ряд для y(x), получим три первых
ненулевых члена искомого разложения.
y ( x ) = 1 + 11! x + 22! x 2 + ... = 1 + x + x 2 + ... .
Ответ: y(x) =1+ x + x2 +....
Задача 9.5. |
|
Разложить функцию |
f (x) = x −6 в ряд Фурье в интервале |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3, 9) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд Фурье для функции f (x), |
заданной в интервале (a, b) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
длины 2l, имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
f (x) = |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
+b |
|
sin |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где коэффициенты |
a0 , |
|
|
|
|
|
an , bn |
|
|
|
вычисляются по формулам |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
an |
= |
|
|
|
|
|
∫ f (x) cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx, |
|
n |
|
= 0,1,2,3... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
bn |
= |
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx, |
|
n |
=1,2,3... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку длина интервала (3,9) равна 2l=6, то ряд Фурье примет вид |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
f (x) = |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
+b |
|
sin |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
an |
|
= |
1 |
|
f (x) cos |
|
nπx |
dx, |
|
|
n = 0,1,2... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
bn |
= |
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx, |
|
n |
|
=1,2... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вычислим коэффициенты Фурье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(x −6)2 |
|
|
39 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
a0 |
= |
|
∫(x −6)dx = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
nπx |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n ≠ 0, |
|
an = |
|
|
|
∫(x −6) cos |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
∫(x −6)d sin |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
πn |
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπx |
|
|
|
|
|
|
|
nπx 9 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπx |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x −6)sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∫sin |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
= 0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
πn |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2n2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
nπx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
bn |
= |
|
|
|
|
|
|
∫(x − |
6)sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= − |
|
|
|
|
|
∫(x |
|
−6)d cos |
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
πn |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπx 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
nπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − |
6) cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∫cos |
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
πn |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|