x2 + y2 = 8000.

(4)

И наконец, условие, определяющее установленные затраты на разгрузку

судов:

4,3x2 + 5,25y2 + 7,8x1 + 6,4y1 + 3,25z1 = 58850.

(5)

Итак, условия полной разгрузки судов выражаются системой линейных

уравнений (1)-(5).

Система (1)-(5) решается методом Гаусса:

x1 = 644,4;

x2 = 5355,6;

y1 =1355,6;

y2 = 2644,4;

z1 = 3000;

z2 = 0.

3. Пусть y = f(x) ― дифференцируемая в точке x функция. Эластичностью

функции y = f(x) относительно переменной x называется предел

∆y / y

x

′

lim

=

f

(x)

∆x / x

y

∆x→0

переменной x

Величина эластичности

функции

y относительно

∂z

и

∂z

,

вводятся понятия эластичности относительно

независимых

∂x

∂y

переменных

x и y. Так эластичностью Ex(z) по переменной

x называется

величина

Eу(z) =

у

∂z .

z

∂у

Задача 10.3. Вычислить

эластичность:

а) функции

f (x) = 5sh2x

относительно

переменной

х;

б)

производственной

функции

z = 2,7(x−3,5 + 4 y−5,2 )−13 ,

где х -

затраты живого труда,

у

- затраты

овеществленного труда по переменным

х и

у в точке x0 =1,

y0 =1. На

′

sh2x

ln 5 2shx chx = sh2x

5

sh2x

ln 5 ,

f (x) = 5

x

Ex

( y) =

sh2x 5sh2x ln 5 .

y

б) z = 2,7(x−3,5 + 4 y−5,2 )−13 .

4

x

∂z

x

1

Ex

(z) =

=

2,7 −

(x−3,5 + 4 y−5,2 )−3 (−3,5) x−4,5 =

∂x

z

z

3

x

−3,5

(x−3,5 + 4 y−5,2 )−

4

3,75

= 3,75

3 =

.

z

x3,5

z(x−3,5

4

= 2,7 .

+ 4 y−5,2 ) 3

При x0 = y0 =1

z0

3

5

Ex (z0 ) =

3,75

=

15

=

3 .

5 13 543

4 53 52

43 52

Ex (z0 ) ≈ 0,2565, т.е. при изменении затрат живого труда на 1%

объем

производства приближенно увеличится на 0,26%.

Вычислим

4

y

y

1

Ey (z) =

∂z

=

2,7 −

(x−3,5 + 4 y−5,2 )−3 4 (−5,2) y

−6,2 =

z

z

∂y

3

y

−5,2

4

=18,72

(x

−3,5 + 4 y−5,2 )−3

=

z

=

18,72

.

z y5,2 (x−3,5 + 4 y−5,2 )43

При x0 = y0 =1

z0

= 2,7 .

3

5

Ey

(z0 ) =

18,72

= 18,72 = 18,72

≈1,28,

3 5 3 54

53 54

53 52

1%

т.е. при увеличении затрат

овеществленного

труда на

объем

производства приближенно увеличится на 1,28 %.

K(c)=

1

b∫K(x)dx.

b −a

a

K(x) = x2 − x +5,

a = 7 .

Решение. Находим среднее значение издержек K(с):

1

7

2

1

x3

x2

7

107

K (c) =

∫(x

− x

+5)dx

=

−

=

.

+5x

0

7

0

7

3

2

6

Находим тот объем продукции х, при котором издержки принимают

среднее значение:

x2 − x +5 =

107

6x2

−6x +30 −107 = 0

6

6x2 −6x −77 = 0 .

x = 3 +

Так как x > 0 ,

то

471 ≈ 24,7 .