Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

www.Mathematic.of.by

Помощь в решении задач по высшей математике

matan99@mail.ru

Решение

Матрицаквадратичной формы Ф(x,y)= 6x2+2

xy+2y2 имеет вид

5

6

5

А=

5

2

Решим характеристическое уравнение:

A −λE

=0

.by

6 −λ

5

= 0

5

2 −λ

(6-λ)(2- λ )-5=0

1

2

.of

Найдем собственныевекторы изсистемы

(6 −λ)x

+

5

x

= 0

1

2

.Mathematic

e

= x

5x +(2 −λ)x = 0

При λ1=7 получим

−x +

5

x

= 0

1

2

=> x1=

5 x2

5x

−5x

= 0

1

2

5

x1

=

1

При λ2=1 получим

5x2

= 0

5x1 +

=> x2=-

5 x1

5x

+ x

= 0

1

2

1

x2

=

− 5

Нормируем собственныевекторы:

www

x

30

6

Т

e1

= (

6

;

6

)

6

30

T

e2

= (

;−

)

6

6

Составим матрицу перехода от старого базисак новому:

30

6

6

6

T=

6

−

30

6

6

www.Mathematic.of.by

Помощь в решении задач по высшей математике

matan99@mail.ru

30

6

30

6

x

x '

x '

x '+

y '

6

6

6

6

=T

=

=

6

30

6

30

y

y '

y '

−

x '−

y '

6

6

6

6

x=

30

x '+

6

y '

6

6

y=

6

x '−

30

y '

6

6

Из исходногоуравнениякривойполучим:

y ')(

x '−

y ') +2(

y ')2

6(

30

x '+

6

y ')2 +2

30

x '+

6

6

30

6

x '−

30

= 21

5(

6

6

6

6

6

6

6

6

.

Получим

.of

by

x '2

y '2

7x '2 + y '2

=

21

Приведемуравнение к каноническому виду

x '2

+

y '2

=1– каноническоеуравнение эллипса сполуосями а=

3

, b=

21

3

21

Mathematic

Ответ:

+

=1

3

21

.

www