- •Практическое занятие № 2
- •2. Пояснения к работе:
- •2.1 Краткие теоретические сведения
- •2.1.1 Система линейных уравнений. Основные понятия
- •2.1.2 Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •2.1.3 Метод Крамера решения систем линейных уравнений
- •2.1.4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •3. Задание
- •4. Контрольные вопросы:
- •5. Содержание отчёта:
- •6.Литература
Практическое занятие № 2
«Решение систем линейных уравнений»
1. Цель: Выработать навыки решения систем линейных уравнений матричным методом, методами Крамера, Гаусса
2. Пояснения к работе:
2.1 Краткие теоретические сведения
2.1.1 Система линейных уравнений. Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
(1)
где числа , называются коэффициентами системы, числа - свободными членами. Подлежат нахождению числа . Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме:
(2)
здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:
вектор - столбец из неизвестных
вектор - столбец из свободных членов (3)
Расширенной матрицей системы называется матрица , дополненная столбцом членов
(4)
Решением системы называется значений неизвестных , , , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему – это значит выяснить, совместна она или не совместна и если система совместна, значит найти ее общее значение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же решение. Эквивалентные системы чаще всего получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что они выполняются лишь над строками матрицы.
12
2.1.2 Матричный метод решения систем линейных уравнений
Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными
(5)
или в матричной форме . Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы
называется главным определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной. Найдем решение данной системы уравнений в случае . Умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим
Поскольку и , то
(6)
Отыскание решения системы по формуле (1) называют матричным методом решения системы.
Пример 1. Решить систему уравнений матричным методом:
Решение:
Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения:
13
Союзная матрица будет следующей: . Вычислим обратную матрицу:
Найдем решение системы по формуле (6):
.
Итак, решением системы будет тройка чисел (1; 2; -1).