Практическое занятие №25

«Численное интегрирование с помощью формул прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью формул Эйлера»

1. Цель: Выработать навыки и умения по применению методов приближённого

интегрирования – формул прямоугольников, трапеций и Симпсона, в решении

приближенными методами дифференциальных уравнений

2. Пояснения к работе

2.1 Краткие теоретические сведения:

2.1.1 Формула прямоугольников

Известно, что не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. Кроме того, на практике сталкиваются с необходимостью вычислять интегралы от функций, заданных табличным или графическим способами, а так же интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные очень сложно, что требует большой вычислительной работы и с практической точки зрения нерационально. В этих случаях вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования. Наиболее простым методом приближенного вычисления определенного интеграла является метод прямоугольников, основанный на непосредственном определении интеграла:

,

где есть интегральная сумма, соответствующая некоторому разбиению отрезка и некоторому набору точек отрезка разбиения.

Вычисление определенного интеграла геометрически сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f(x), осью абсцисс и прямыми и .

рис. 1.

Для точности численного интегрирования нужно отрезок разбить на несколько частей и для каждой из них вычислить приближенное значение площади криволинейной трапеции, основанием которой является отрезок , а высотой - число , т.е. значение функции в точке

152

, выбранное из условия минимума ошибки интегрирования. Тогда за приближенное значение

интеграла на отрезке принимают интегральную сумму:

Практически удобно делить отрезок на равные части , а точки совмещать с

левыми или правыми концами отрезков разбиения. Если точку совместить с левым концом отрезка , то приближенное значение интеграла геометрически равно площади заштрихованной нижней ступенчатой фигуры и может быть представлено формулой левых прямоугольников:

(1)

где - шаг разбиения. Если же в качестве точки . выбрать правый конец отрезка , приближенное значение интеграла графически равно площади верхней ступенчатой фигуры, и вычисляется по формуле правых прямоугольников:

(2)

Погрешность вычисления:

, где - максимум на (3)

Пример 1. Используя формулу прямоугольников при , вычислить с тремя десятичными знаками . Оценить допущенную погрешность.

Решение: разделим отрезок на 10 равных частей точками и найдём значения функции в этих точках:

	1	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	2
	1.000	0.909	0.833	0.769	0.714	0.667	0.625	0.588	0.556	0.526	0.5

Тогда получим и по формуле (1) находим

.

Оценим погрешность. Имеем ; функция монотонно убывает на отрезке , поэтому и .

Так как допущенная погрешность влияет уже на второй знак после запятой, то третий знак следует округлить. Значит, . Если вычислить этот интеграл по формуле Ньютона –

153

Лейбница, то получим . Таким образом, ответ является приближённым значением . Но ; следовательно, при вычислении допущена погрешность, меньшая .