10

Тема 5. Средние величины

1. Сущность средних и их значение в статистическом анализе

2. Средняя арифметическая

3. Средняя гармоническая. Выбор формы средней. Другие виды средних величин

4. Медиана, мода и другие описательные средние

1. Сущность средних и их значение в статис-тическом анализе

Средняя величина - обобщающий показатель, который характеризует типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности.

Средние величины играют в статистике очень важную роль, т.к. являются обобщающей характеристикой большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. В экономическом анализе они являются наиболее употребляемыми обобщающими показателями.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц совокупности, в то же время она игнорирует те различия, которые наблюдаются у отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их.

Это объясняется тем, что уровень любого явления обусловлен действием 2 групп факторов:

- главные, постоянно действующие факторы, тесно связанные с природой изучаемого явления или процесса. Они формируют то общее, типичное, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средних величинах;

- второстепенные. Их действие выражается слабее, носит случайный характер. Именно эти факторы обуславливают различия между значениями варьирующего признака, которые погашаются средней величиной.

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак.

В зависимости от способа расчёта, существуют различные виды средних величин:

- средняя арифметическая;

- средняя геометрическая;

- средняя гармоническая;

- средняя квадратическая;

- средняя хронологическая.

2. Средняя арифметическая

Средняя арифметическая является наиболее распространенным видом средних. Она применяется, если общий объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признаков у отдельных ее единиц.

Расчет средней арифметической

Объем совокупности – n, i=1…n; - значение варьирующего признака у i-той единицы совокупности; X – общий объем варьирующего признака по совокупности, Х = .

При расчетах различают среднюю арифметическую:

- простую (1.1)

- взвешенную ; (1.2)

- i-й вариант осредняемого признака;

- вес i- го варианта осредняемого признака;

k – число (количество) различных значений (вариантов) осредняемого признака;

п – объем совокупности.

В качестве весов чаще всего используются:

- абсолютные частоты, т.е. числа, показывающие, сколько раз встречаются в совокупности соответствующие значения признака;

- относительные частоты, представляющие собой отношение абсолютных частот к их сумме.

Основные свойства средней арифметической:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Основные случаи практического вычисления средней арифметической:

1. Имеется общий объем признака для всей совокупности (X) и объем совокупности (n)

; (1.3)

2. Исходные данные представлены в виде простого (не взвешенного) вариационного ряда распределения:

; (1.4)

3. Исходные данные представлены в виде дискретного взвешенного ряда распределения:

. (1.5)

4. Исходные данные представлены в виде интервального ряда распределения.

В этом случае интервальный ряд нужно привести к дискретному ряду путем замены каждого интервала его средним (срединным) (x^’_j) значением:

, (1.6)

где x^j_н, x^j_в– соответственно нижняя и верхняя границы j–того интервала. После этого можно рассчитать среднее значение признака:

, (1.7)

где f_j – вес (частота) j–того интервала;

m – число интервалов (число групп) в интервальном ряду.

Если в интервальном ряду есть открытые интервалы (первый и последний), то для определения нижней границы 1-го интервала необходимо от значения его верхней границы вычесть величину 2-го интервала:

x¹_н = x¹_в – h_2. (1.8)

Аналогично, если открытым является последний интервал, который имеет только нижнюю границу:

x^m_в = x^m_н + h_m-1. (1.9)

Расчеты средней арифметической в интервальном вариационном ряду могут быть громоздкими, если варианты и веса имеют большие значения. Использование следующих основных математических свойств средней арифметической взвешенной позволяет значительно упростить вычисления.

1) если уменьшить все варианты на какое либо постоянное число (А), то новая средняя уменьшится на то же число;

2) если уменьшить все варианты в одинаковое число раз (К), то средняя уменьшится во столько же раз;

3) если уменьшить или увеличить веса (частоты) всех вариант в одинаковые число раз (L), то средняя арифметическая не изменится.

4) сумма отклонений всех вариантов от общей средней равна нулю.

Используя перечисленные свойства, формула для расчета средней арифметической примет вид (расчет средней по способу моментов):

(1.9)

Рекомендации по выбору постоянных А, К и L:

1) в качестве постоянной (А) принято брать серединное значение интервала с наибольшей частотой, т. е. , где j – номер интервала с максимальной частотой;

2) в качестве постоянной величины (К) принято брать величину интервала ряда распределения, т. е. ;

3) в качестве постоянной величины (L), следует принимать любое постоянное число, которое упростит расчеты.

5. В статистической практике часто возникает необходимость определить среднюю арифметическую для всей совокупности по данным о средних для отдельных частей этой совокупности (по групповым средним):

, (1.10)

m- число групп, на которое разбита совокупность;

- средняя величина признака в j-ой группе;

- вес j-ой группы в общей совокупности.