Задача №6.
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
A =
Решение:
Составляем характеристическое уравнение матрицы А:
=0
Решим это уравнение путём разложения по 1й строке:
.
или
методом подбора находим корни этого уравнения:
–эти корни являются собственными значениями матрицы А.
Для отыскания соответствующих собственных векторов матрицы А используем системы уравнений и решим их:
При :
Решим данную систему методом Гаусса: Сформируем расширенную матрицу :
|
|
|
Разделим строку 1 на a1,1 = |
2 |
Получим матрицу :
|
Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1= |
| |||
|
|
Вычитаемая строка :
|
|
|
Модифицированная матрица :
|
Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1= |
5 |
Вычитаемая строка :
|
|
|
Модифицированная матрица :
|
Разделим строку 2 на a2,2 = |
|
Получим матрицу :
|
Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2= |
|
Вычитаемая строка :
|
|
|
Модифицированная матрица :
|
3-ю строку из матрицы удалим (она обнулилась). Редуцированная матрица :
|
Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2= |
|
Вычитаемая строка :
|
|
|
Модифицированная матрица :
|
Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:
|
|
x1 |
|
|
|
- |
|
x3 |
= |
|
0 |
| |||
|
|
|
|
|
x2 |
- |
|
x3 |
= |
|
0 |
|
x1, x2 оствавим в левой части уравнений, а x3 перенесем вправо. Окончательный вид системы следующий:
|
x1 |
= |
|
x3 |
|
|
x2 |
= |
|
|
x3 |
|
x3 - свободная переменная.
Полагая, что x3 = 1, получим: x1 = 1; x2 = . |
|
Собственный вектор b1 = (1, , 1)
При :
Решим данную систему методом Гаусса:
Сформируем расширенную матрицу :
|
|
|
Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1= |
|
Вычитаемая строка :
|
|
|
Модифицированная матрица :
|
Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1= |
5 |
Вычитаемая строка :
|
|
|
Модифицированная матрица :
|
Разделим строку 2 на a2,2 = |
-12 |
Получим матрицу :
|
Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2= |
-12 |
Вычитаемая строка :
|
|
|
Модифицированная матрица :
|
3-ю строку из матрицы удалим (она обнулилась). Редуцированная матрица :
|
Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2= |
3 |
Вычитаемая строка :
|
|
|
Модифицированная матрица :
|
Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:
|
|
x1 |
|
|
|
|
x3 |
= |
|
0 |
| ||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
x3 |
= |
|
0 |
|
x1, x2 оствавим в левой части уравнений, а x3 перенесем вправо. Окончательный вид системы следующий:
|
x1 |
= |
|
x3 |
|
|
x2 |
= |
|
|
x3 |
|
x3 - свободная переменная.
Полагая, что x3 = 1, получим:
x1 = 1;
x2 = ;
x3 = 1.
Собственный вектор b2 = (1, , 1)
При :
Решим данную систему методом Гаусса: Сформируем расширенную матрицу :
|
|
|
Разделим строку 1 на a1,1 = |
5 |
Получим матрицу :
|
Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1= |
|
Вычитаемая строка :
|
|
|
Модифицированная матрица :
|
Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1= |
5 |
Вычитаемая строка :
|
|
|
Модифицированная матрица :
|
3-ю строку из матрицы удалим (она обнулилась). Редуцированная матрица :
|
Разделим строку 2 на a2,2 = |
|
Получим матрицу :
|
Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2= |
|
Вычитаемая строка :
|
|
|
Модифицированная матрица :
|
Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
- |
|
x3 |
= |
|
0 |
|
x1, x2 оствавим в левой части уравнений, а x3 перенесем вправо. Окончательный вид системы следующий:
|
x1 |
= |
0 |
|
|
x2 |
= |
|
x3 |
|
x3 - свободная переменная.
Полагая, что x3 = 1, получим:
x1 = 0
x2 = 1
x3 = 1
Собственный вектор b3 = (0, 1, 1).