Задача №4.

Даны 2 матрицы A и B. Найти A^-1B^T и A^TB^-1.

Решение:

Для начала нам надо найти по отдельности A^-1, B^T, A^T и B^-1:

Матрица A^T получается из данной матрицы A заменой каждой её строки столбцом с тем же номером:

A^T = ;B^T =

Найдём A^-1 методом Гаусса.

Припишем справа к исходной матрице единичную. В полученной расширенной матрице, левая часть есть исходная матрица, а правая единичная. Затем, производя элементарные операции над строками расширенной матрицы, будем приводить левую часть расширенной матрицы к единичной. По достижению указанной цели правая часть расширенной матрицы будет содержать матрицу обратную к исходной

Сформируем расширенную матрицу :

0 -1 -5      1 0 0 -7 3 5      0 1 0 5 -5 -6      0 0 1

Поменяем местами строки 1 и 2.

-7 3 5      0 1 0 0 -1 -5      1 0 0 5 -5 -6      0 0 1

Разделим строку 1 на a1,1 =

-7

Получим матрицу :

1 -3 7 -5 7      0 -1 7 0 0 -1 -5      1 0 0 5 -5 -6      0 0 1

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=

5

Вычитаемая строка :

5 -15 7 -25 7      0 -5 7 0

Модифицированная матрица :

1 -3 7 -5 7      0 -1 7 0 0 -1 -5      1 0 0 0 -20 7 -17 7      0 5 7 1

Разделим строку 2 на a2,2 =

-1

Получим матрицу :

1 -3 7 -5 7      0 -1 7 0 0 1 5      -1 0 0 0 -20 7 -17 7      0 5 7 1
Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2=	-20 7

Вычитаемая строка :

0 -20 7 -100 7      20 7 0 0

Модифицированная матрица :

1 -3 7 -5 7      0 -1 7 0 0 1 5      -1 0 0 0 0 83 7      -20 7 5 7 1
Разделим строку 3 на a3,3 =	83 7

Получим матрицу :

1 -3 7 -5 7      0 -1 7 0 0 1 5      -1 0 0 0 0 1      -20 83 5 83 7 83
Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a2,3=	5

Вычитаемая строка :

0 0 5      -100 83 25 83 35 83

Модифицированная матрица :

1 -3 7 -5 7      0 -1 7 0 0 1 0      17 83 -25 83 -35 83 0 0 1      -20 83 5 83 7 83
Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a1,3=	-5 7

Вычитаемая строка :

0 0 -5 7      100 581 -25 581 -5 83

Модифицированная матрица :

1 -3 7 0      -100 581 -58 581 5 83 0 1 0      17 83 -25 83 -35 83 0 0 1      -20 83 5 83 7 83

Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2=

-3 7

Вычитаемая строка :

0 -3 7 0      -51 581 75 581 15 83

Модифицированная матрица :

1 0 0      -7 83 -19 83 -10 83 0 1 0      17 83 -25 83 -35 83 0 0 1      -20 83 5 83 7 83

В последней расширенной матрице, левая часть есть единичная матрица, а правая обратная к исходной.

По аналогии с нахождением A^-1, найдём B^-1:

Сформируем расширенную матрицу :

1 -7 -6      1 0 0 0 1 2      0 1 0 -6 3 -2      0 0 1

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=

-6

Вычитаемая строка :

-6 42 36      -6 0 0

Модифицированная матрица :

1 -7 -6      1 0 0 0 1 2      0 1 0 0 -39 -38      6 0 1
Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2=	-39

Вычитаемая строка :

0 -39 -78      0 -39 0

Модифицированная матрица :

1 -7 -6      1 0 0 0 1 2      0 1 0 0 0 40      6 39 1

Разделим строку 3 на a3,3 =

40

Получим матрицу :

1 -7 -6      1 0 0 0 1 2      0 1 0 0 0 1      3 20 39 40 1 40
Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a2,3=	2

Вычитаемая строка :

0 0 2      3 10 39 20 1 20

Модифицированная матрица :

1 -7 -6      1 0 0 0 1 0      -3 10 -19 20 -1 20 0 0 1      3 20 39 40 1 40

Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a1,3=

-6

Вычитаемая строка :

0 0 -6      -9 10 -117 20 -3 20

Модифицированная матрица :

1 -7 0      19 10 117 20 3 20 0 1 0      -3 10 -19 20 -1 20 0 0 1      3 20 39 40 1 40

Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2=

-7

Вычитаемая строка :

0 -7 0      21 10 133 20 7 20

Модифицированная матрица :

1 0 0      -1 5 -4 5 -1 5 0 1 0      -3 10 -19 20 -1 20 0 0 1      3 20 39 40 1 40

Найдём A^-1B^T :

C = A^-1*B^T

Вычислим элементы матрицы C: c_1,1 = a_1,1b_1,1+a_1,2b_2,1+a_1,3b_3,1; c_1,2 = a_1,1b_1,2+a_1,2b_2,2+a_1,3b_3,2; c_1,3 = a_1,1b_1,3+a_1,2b_2,3+a_1,3b_3,3; c_2,1 = a_2,1b_1,1+a_2,2b_2,1+a_2,3b_3,1; c_2,2 = a_2,1b_1,2+a_2,2b_2,2+a_2,3b_3,2; c_2,3 = a_2,1b_1,3+a_2,2b_2,3+a_2,3b_3,3; c_3,1 = a_3,1b_1,1+a_3,2b_2,1+a_3,3b_3,1; c_3,2 = a_3,1b_1,2+a_3,2b_2,2+a_3,3b_3,2; c_3,3 = a_3,1b_1,3+a_3,2b_2,3+a_3,3b_3,3;

c1,1 =

-7 83

*

1

+

-19 83

*

(-7)

+

-10 83

*

(-6)

=

-7 83

+

133 83

+

60 83

=

186 83

c1,2 =

-7 83

*

0

+

-19 83

*

1

+

-10 83

*

2

=

0

+

-19 83

+

-20 83

=

-39 83

c1,3 =

-7 83

*

(-6)

+

-19 83

*

3

+

-10 83

*

(-2)

=

42 83

+

-57 83

+

20 83

=

5 83

c2,1 =

17 83

*

1

+

-25 83

*

(-7)

+

-35 83

*

(-6)

=

17 83

+

175 83

+

210 83

=

402 83

c2,2 =

17 83

*

0

+

-25 83

*

1

+

-35 83

*

2

=

0

+

-25 83

+

-70 83

=

-95 83

c2,3 =

17 83

*

(-6)

+

-25 83

*

3

+

-35 83

*

(-2)

=

-102 83

+

-75 83

+

70 83

=

-107 83

c3,1 =

-20 83

*

1

+

5 83

*

(-7)

+

7 83

*

(-6)

=

-20 83

+

-35 83

+

-42 83

=

-97 83

c3,2 =

-20 83

*

0

+

5 83

*

1

+

7 83

*

2

=

0

+

5 83

+

14 83

=

19 83

c3,3 =

-20 83

*

(-6)

+

5 83

*

3

+

7 83

*

(-2)

=

120 83

+

15 83

+

-14 83

=

121 83

Результирующая матрица С :

Найдём A^TB^-1:

C = A^T*B^-1

Вычислим элементы матрицы C: c_1,1 = a_1,1b_1,1+a_1,2b_2,1+a_1,3b_3,1; c_1,2 = a_1,1b_1,2+a_1,2b_2,2+a_1,3b_3,2; c_1,3 = a_1,1b_1,3+a_1,2b_2,3+a_1,3b_3,3; c_2,1 = a_2,1b_1,1+a_2,2b_2,1+a_2,3b_3,1; c_2,2 = a_2,1b_1,2+a_2,2b_2,2+a_2,3b_3,2; c_2,3 = a_2,1b_1,3+a_2,2b_2,3+a_2,3b_3,3; c_3,1 = a_3,1b_1,1+a_3,2b_2,1+a_3,3b_3,1; c_3,2 = a_3,1b_1,2+a_3,2b_2,2+a_3,3b_3,2; c_3,3 = a_3,1b_1,3+a_3,2b_2,3+a_3,3b_3,3;

Результирующая матрица |С| :