Задача №2.
Даны вершины A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) треугольника ABC. Требуется найти:
общее уравнение прямой AB;
общее уравнение прямой, на которой лежит высота CH и длинну этой высоты;
общее уравнение прямой, на которой лежит медиана AM;
точку N пересечения медианы AM и CH;
параметрическое уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину C;
косинус внутреннего угла при вершине A.
Значения радикалов и отношений вычислить с точностью до второго знака.
A(10, 7), B(-8, -3), C(4, 3).
Решение:
1) Общее уравнение прямой имеет вид:
Ax + By + C = 0.
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2):
Подставив в уравнение координаты точек A и B, получим:
.
2) CH в треугольнике ABC является его высотой, перпендикулярно опущенной из вершины C на сторону AB. Т.к. CH перепендикулярна AB, то их угловые коэффициены имеют соотношение .
Угловой коэффициент прямой через координаты 2х её различных точек
A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) определяется формулой:
Подставим в это уравнение координаты точек A и B:
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и проходящей через данную точку H(x1, y1) имеет вид:
Подставим в это уравнение координаты точки С и :
Расстояние d от точки M(x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 вычисляют по формуле:
Подставив в это уравнение координаты точки C и прямую AB, получим:
3) Из свойств треугольника известно, что медиана вышедшая из вершины треугольника делит сторону противолежающую этой вершине пополам. Т.е. точка M(x3, y3) лежит по середине стороны BC. Имея начальную и конечную точки
B(x1, y1, z1) и C(x2, y2, z2) прямой BC мы можем найти её центр:
Подставим в эту систему уравнений координаты точек B и C и получим:
Имея координаты начальной и конечной точек медианы АМ составим её уравнение:
4) При пересечении 2х прямых x + y + = 0 иx + y + = 0 на плоскости координаты точки их пересеченияN(x0, y0) можно найти по формулам:
Подставим в систему уравнений имеющиеся данные и получим:
N( - 2.25, - 0.15).
5) Параметрическое уравнение прямой выглядит следующим образом:
.
Т.к. вектора параллелен стороне, то мы можем использовать координаты направляющего вектора, который лежит на стороне.
= () = (.
Подставим в параметрическое уравнение координаты точки C и направляющего вектора :
.
6) Для нахождения косинуса внутреннего угла при вершине A необходимо записать уравнение прямой AC:
.
Т.к. обе наши прямые заданы общими уравнениями, то воспользуемся следующим выражением для нахождения угла между ними:
Задача №3.
Даны четыре точки A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), A3(x3, y3, z3), A4(x4, y4, z4). Требуется найти:
уравнение плоскости A1A2A3;
уравнение прямой, проходящей через точку A4, перпендикулярно плоскости A1A2A3;
расстояние от точки A4 до плоскости A1A2A3;
синус угла между прямой A1A4;
косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A1A2A3;
A1(0, -4, 6), A2(-6, 2, -6), A3(4, 4, 7), A4(1, -5, 3).
Решение:
1) Общее уравнение плоскости имеет вид:
;
Уравнение плоскости, проходящей через три точки A1 (x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), A3(x3, y3, z3), вычисляется по формуле:
Подставим в это выражение имеющиеся координаты точек A1, A2, A3:
Найдём определитель этой матрицы путём разложения по 1й строке:
A1A2A3
2) Уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0, y0, z0) и проходящей через плоскость A1A2A3 имеет вид:
. Нормальный вектор плоскости ;
Подставим имеющиеся координаты вектора и координаты точкиA4 в уравнение:
- уравнение прямой, проходящей через точку A4, перпендикулярно плоскости A1A2A3;
3) Расстояние от точки A4 до плоскости A1A2A3 - это, длина перпендикуляра , опущенного из точки A4 на плоскость A1A2A3.
Расстояние от точки A4 до поскости A1A2A3 определяется по формуле:
Подставим имеющиеся данные в это уравнение:
4) Синус угла между прямой, заданной параметрическим уравнением
,
и плоскостью, заданной уравнением общего вида
Определяется выражением:
Найдём уравнение прямой A1A4:
Переходя от канонических уравнений к параметрическим, получаем:
Подставим имеющиеся данные в выражение для нахождения синуса угла между прямой и плоскостью:
.
5) Общим уравнением плоскости Oxy является выражение z=0 (0*x+0*y+z=0). Косинус угла межу плоскостями Oxy и A1A2A3:
Подставим имеющиеся данные в это выражение:
.