7. Поняття лінійної залежності.

Важливе значення в лінійній та векторній алгебрі має поняття лінійної залежності елементів. Позначимо рядки матриці А через l₁ , l₂ , …, l_m.

Означення. Рядки матриці називаються лінійно залежними, якщо можна підібрати числа , не рівні одночасно нулеві, такі, що: . Якщо таких чисел не існує, тобто дана рівність виконується лише при умові , то рядки називають лінійно незалежними.

Коли один рядок матриці лінійно виражається через інші, то система рядків лінійно залежна, наприклад:

.

І навпаки, якщо система рядків лінійно залежна, то принаймні один рядок лінійно виражається через інші; наприклад, .

8. Теорема про ранг матриці.

Теорема 2 (про ранг матриці). Якщо ранг матриці r, то в цій матриці можна знайти r лінійно незалежних рядків (стовпців), через які лінійно виражаються всі інші її рядки (стовпці).

Наслідок 1. Максимальне число лінійно незалежних стовпців матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків, бо при транспонуванні матриці ранг не змінюється.

Наслідок 2. Для того, щоб визначник дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці ) були лінійно залежними.

Якщо , то – рядки лінійно залежні. Якщо рядки лінійно залежні, то ранг менше i .

3. Поняття про слар та її розв’язки.

   1. Поняття про систему рівнянь та її розв’язки.

Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими:

Розв’язком даної системи називається сукупність значень невідомих , при підстановці яких в систему кожне рівняння перетворюється на тотожність. Система, що має принаймні один розв’язок, називається сумісною; система, що не має жодного розв’язку, – несумісною. Сумісна система, що має єдиний розв’язок, називається визначеною; система, що має більше одного розв’язку, – невизначеною.

Розглянемо основну матрицю системи, складену з коефіцієнтів при невідомих, і матрицю , одержану з матриці приєднанням стовпця вільних членів і названу розширеною.

Очевидно, що , т. я. кожний мінор матриці є мінором матриці .

2. Сумісність слар. Теорема Кронекера-Капеллі.

Теорема Кронекера-Капеллі. Для сумісності системи необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці системи дорівнював рангу основної матриці .

Отже, якщо , то система сумісна (визначена, невизначена), якщо – система несумісна.

Еквівалентні перетворення системи.

Розглянемо систему:

Теорема. Якщо обидві частини деякого рівняння системи лінійних рівнянь з невідомими помножити на довільне число і відняти від відповідних частин другого рівняння, то одержимо нову систему, еквівалентну початковій, тобто вони або обидві несумісні, або обидві сумісні і мають одні і ті ж розв’язки.

Наслідок. Якщо скінченне число разів від довільних рівнянь системи відняти будь-які інші рівняння, помножені на сталі , то одержимо систему, еквівалентну даній.

При виконанні вказаного перетворення одно або декілька рівнянь можуть набути вигляду: . Якщо , то рівняння лінійно залежні. Якщо , то рівняння і система не мають розв’язку.