Лекція 1. ВИЗНАЧНИКИ.МАТРИЦІ

1. Поняття про визначник. Властивості визначників.

2. Поняття про матрицю. Дії над матрицями. Обернена матриця. Елементарні перетворення матриці. Ранг матриці.

3. Поняття про СЛАР та її розв’язки. Сумісність СЛАР. Теорема Кронекера-Капеллі.

4. Методи розв’язання СЛАР (Крамера, матричний, Гаусса).

1. Поняття про визначник. Властивості визначників.

1. Поняття про визначник іі порядку.

Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими: . Розв’язком такої системи називається довільна пара значень , підстановка яких замість перетворює кожне рівняння в тотожність. Щоб розв’язати цю систему помножимо перше рівняння на , а друге на і додамо їх: , звідки одержимо: . Помноживши І-е рівняння на , а 2-е на , знайдемо: .

Означення. Визначником 2-го порядку називається число, початково записане у вигляді квадратної таблиці з 2-х рядків та 2-х стовпців, що дорівнює:

де елементи визначника, при цьому елементи утворюють головну діагональ визначника, елементи – побічну.

2. Визначник ііі порядку.

Означення. Визначник третього порядку – це число, початково записане у вигляді квадратної таблиці з трьох рядків та трьох стовпців, що дорівнює:

Визначник третього порядку можна обчислювати: за правилом трикутника (або зірки, або Сарюса); за правилом Пікара; шляхом розкладання за елементами рядка або стовпця.

Обчислення визначника третього порядку за правилом трикутника полягає в наступному.

Зі знаком „плюс” беремо добуток елементів, що стоять на головній діагоналі, а також добутки елементів, що лежать на 2-х паралелях до цієї діагоналі з 3-м множником, що стоїть у протилежному куті таблиці, а з знаком „мінус” – добуток елементів, що лежать на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що стоять на

2-х паралелях до цієї діагоналі з 3-м множником, що стоїть у протилежному куті.

Приклад. Обчислимо визначник:

Отже, визначник – алгебраїчна сума всіх можливих добутків його елементів, взятих по одному з кожного рядка та з кожного стовпця з відповідним знаком.

Обчислення визначника третього порядку за правилом Пікара полягає в наступному.

За визначником справа від нього записуємо два стовпці, що повторюють перші два стовпці даного визначника:

Зі знаком „плюс” беремо добуток елементів, що стоять на головній діагоналі, а також добутки елементів, які лежать на двох паралелях до цієї діагоналі:

,

а з знаком „мінус” – добуток елементів, що лежать на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що стоять на двох паралелях до цієї діагоналі:

Отримуємо:

3. Визначник - го порядку.

Нехай дано квадратну таблицю (1), що складається з чисел, розташованих в рядках і стопцях (і – номер рядка, j – номер стовпця).

Означення. Визначником – го порядку називається число, що дорівнює алгебраїчній сумі членів, кожен з яких є добутком його елементів, взятих по одному і тільки по одному з кожного з рядків і кожного з стовпців квадратної таблиці чисел, причому половина визначених членів береться з їх знаками, а інші з протилежними. Знак кожного доданка визначається за певним правилом.

4. Властивості визначників

Обчислення визначників четвертого і вищих порядків можна звести до обчислення визначників 2-го і 3-го порядків з допомогою властивостей визначників, справедливість яких для визначників 2-го і 3-го порядків можна перевірити безпосереднім обчисленням величини визначника (самостійно).

1. Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити стовпцями і навпаки.

2. Від перестановки двох рядків або двох стовпців визначник змінює лише знак.

3. Якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця) дорівнюють нулеві, то визначник дорівнює нулю.

4. Спільний множник елементів будь-якого рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.

5. Визначник, у якого елементи будь-яких двох рядків (стовпців) пропорційні, дорівнює нулю.

6. Визначник, у якого елементи будь-яких двох рядків (стовпців) однакові, дорівнює нулю.

7. Якщо кожний елемент будь-якого рядка (стовпця) визначника є сума двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників. У одного з них елементами відповідного рядка (стовпця) будуть перші доданки, а у другого – другі. Всі інші елементи у цих двох визначників ті, що і даного.

8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати елементи другого рядка (стовпця) помножені на одне і те ж число.