Глава 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

§1. Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.

Следствие. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. (формула справедлива и для n слагаемых).

Замечание 1. Сумма вероятностей событий , ,…, , образующих полную группу, равна единице, т.е.

=1.

Замечание 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице ( ), т.о. .

Задача 1. Вероятность того, что следующий день будет дождливый, равна 0,7. Какова вероятность того, что дождя в этот день не будет?

Решение. По условию,

Событие “дождя на следующий день не будет” противоположно событию A (это событие ).

.

Задача 2. Сырье на предприятие поступает с 3-х складов. Вероятность того, что сырье поступит с первого склада, . Вероятность того, что сырье поступит со второго склада, . Найти вероятность того, что сырье поступит с третьего склада.

Решение. События A, B, C – образуют полную группу, следовательно,

Задача 3. В коробке 6 синих, 8 красных, 10 черных карандашей. Найти вероятность того, что наугад из коробки достали синий или красный карандаш.

Решение. Событие A – из коробки достали синий карандаш. По классическому определению вероятности

Событие B – из коробки достали красный карандаш. По классическому определению вероятности

События A и B – несовместны, следовательно

.

§2. Теорема умножения вероятностей.

Определение. Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятности появления другого.

Определение. События , ,…, называются независимыми в совокупности, или независимыми, если каждое из них и произведение любого числа k остальных (k=1, 2, …, п-1) являются независимыми.

Например, если события А,В,С независимы в совокупности, то это означает, что независимы А и В, В и С, А и С, В и АС, С и АВ, А и ВС.

Определение. Вероятность события B, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило, называют условной вероятностью события В.

Обозначим или – условную вероятность события B.

Задача 4. В корзине 6 белых и 8 черных шаров. Наугад из корзины вынимают один шар и откладывают его, затем вынимают еще один шар. Какова вероятность того, что второй шар – черный?

Решение. Обозначим событие A – первый вынутый шар черный, событие В – второй вынутый шар – черный. По классическому определению вероятности:

, тогда

,

т.к. после того как событие A произошло, в урне осталось 7 черных шаров из 14. Если же первый вынутый шар – белый (событие ), то

,

.

Вероятность события B зависит от того, произойдет событие A или нет.

Теорема. Вероятность совместного появления 2-х событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие 1. Если события A и B независимы, то .

Следствие 2. Если события A и B – несовместны, то P(AB)=0.

Следствие 3. Если события , ,…, независимые, то вероятность P появления хотя бы одного из них определяется по формуле

.

Задача 5. В комплекте 1000 лотерейных билетов, среди которых 100 выигрышных. Какова вероятность того, что наугад взятые 2 билета выигрышные?

Решение. Обозначим событие A – первый билет выигрышный:

.

Событие B – второй билет выигрышный. Вероятность события B: